Baccalauréat C Caen juin

Description

Niveau: Secondaire, Lycée
[ Baccalauréat C Caen juin 1983 \ EXERCICE 1 3,5 POINTS Soit k un entier naturel supérieur ou égal à 1. Une urne contient 5k boules blanches et 3k boules rouges. 1. On tire simultanément trois boules de l'urne. On admet que tous les tirages sont équiprobables. On note p(k) la probabilité de l'évènement E : « tirer plus de boules rouges que de boules blanches ». Calculer p(1), puis p(k). Étudier la limite de p(k) quand k tend vers +∞. 2. On tire successivement trois boules de l'urne en notant chaque fois la couleur de la boule, puis en la remettant dans l'urne. On admet l'équiprobabilité des tirages. On note p ?(k) la probabilité de l'évènement E ? : « tirer plus de boules rouges que de boules blanches ». Montrer que p ?(k) est indépendant de k et vérifier que p ?(k)= lim k?+∞ p(k). EXERCICE 2 3,5 POINTS Dans le plan affine euclidien muni d'un repère orthonormé ( O, ??ı , ??? ) , on note E l'ensemble des points M(x ; y) tels que : x2+4y2?2|x|?3 = 0. Étudier et construire E .

• condi- tion


• couleur de la boule


• rotations vectorielles


• boule rouge


• expression de ?


• demi-tangentes aux points d'abscisse nulle

Informations

• Publié par: apmep
• Publié le: 01 juin 1983
• Nombre de lectures: 17
• Langue: Français

Extrait

[Baccalauréat C Caen juin 1983\

E X E R C IC E 1 Soitkun entier naturel supérieur ou égal à 1. Une urne contient 5kboules blanches et 3kboules rouges.

3,5 P O IN TS

1.us les tiragesOn tire simultanément trois boules de l’urne. On admet que to sont équiprobables. On notep(k) la probabilité de l’évènementE: « tirer plus de boules rouges que de boules blanches ». Calculerp(1), puisp(k). Étudier la limite dep(k) quandktend vers+∞. 2.On tire successivement trois boules de l’urne en notant chaque fois la couleur de la boule, puis en la remettant dans l’urne. On admet l’équiprobabilité des ′ ′ tirages. On notep(k) la probabilité de l’évènementE: « tirer plus de boules ′ rouges que de boules blanches ». Montrer quep(k) est indépendant deket vérifier que

′ p(k)=limp(k). k→+∞

E X E R C IC E 2 3,5 P O IN TS ³ ´ −→−→ Dans le plan affine euclidien muni d’un repère orthonorméO,ı,, on noteE l’ensemble des pointsM(x;y) tels que :

2 2 x+4y−2|x| −3=0.

Étudier et construireE. En particulier, préciser les axes de symétrie, les points où les tangentes sont parallèles aux axes et les demitangentes aux points d’abscisse nulle.

P R O B L È M E 3,5 P O IN TS SoitFl’ensemble des applications deRdansR, deux fois dérivables surR. On rap pelle queF, muni de l’addition et de la multiplication d’une fonction par un réel, est ′ ′′ un espace vectoriel surR. Sifest un élément deF, on notefla dérivée defetf la dérivée seconde def. Partie A Soitf 1 ,f 2 ,f 3 les éléments deFdéfinis par : 2 f 1 (x)=,f 2 (x)=cosπx,f 3 (x)=sinπx. 2 SoitEl’ensemble des applicationsftelles que :

f=a 1 f 1 +a 2 f 2 +a 3 f 3 , 3 ( a 1 ,a 2 ,a 3 ) étant un élément quelconque deR. ¡ ¢ 1.Démontrer queEest un sousespace vectoriel deFet queB=f 1 ,f 2 ,f 3 est une base deE.

Le baccalauréat de 1983

A. P. M. E. P.

2.Soitϕl’application deE×EdansRdéfinie par : Z 2 ∀(f,g)∈E×E,ϕ(f,g)=f(x)g(x) dx. 0 Démontrer queϕest un produit scalaire surEpour lequelBest une base orthonormée. (On pourra calculer d’abordϕ(f,g) en fonction des coordonnées defet deg dans la baseB.) Partie B Dans le suite du problème,E, muni du produit scalaire défini dans la partie A, est un espace vectoriel euclidien que l’on oriente de manière que la baseBsoit directe. À tout élémentfdeE, on associe l’applicationgdeRdansRdéfinie par µ ¶ 1 ∀x∈R,g(x)=f x+. (1) 2 1.Montrer quegappartient àEet que l’application r:E→E f→7−gdèéfinie par (1) est une rotation vectorielle deEdont on précisera l’axe et dont on déterminera l’angle après avoir orienté cet axe. 2. a.Vérifier quer◦r=s, oùsest l’endomorphisme deE:f−→7s(f) avec ∀x∈R,s(f)(x)=f(x+1). b.Préciser la nature de l’endomorphismes. Le caractériser simplement. c.Démontrer que : 2 ′′ ∀f∈E,s(f)=f+f. 2 π 3.Résoudre dansEl’équation d’inconnuef, définie par :

2 3 ′′ ∀x∈R,f(x)+f=1+cosπx+sinπx. 2 π2 Partie C Soitpl’application : p: [0 ; 2]→R 2 x−→72x−x. Z 2 2 Pour toutfdeE, on poseI(f)=[p(x)−f(x)] dx. 0 On se propose de déterminer une fonctionγdeEtelle que : ∀f∈E,I(γ) 6 I(f) (2) et de calculerI(γ). On posef=a 1 f 1 +a 2 f 2 +a 3 f 3 oùa 1 ,a 2 ,a 3 sont trois réels. Z 2 2 1.[Déterminer, en utilisant le A 2.,f(x)] dxen fonction dea 1 ,a 2 ,a 3 . 0 2.Pour tout élémentide {1, 2, 3}, on pose : Z 2 α i =p(x)f i (x) dx. 0

Caen

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juin 1983

Le baccalauréat de 1983

a.Montrer, sans calculerα 1 ,α 2 ,α 3 , que :

A. P. M. E. P.

Z 2 2 22 22 2 2 α)−α−α I(f)=[p(x)] dx+(a 1 −α 1 )+(a 2 −α 2 )+(a 3 − 3 1 −α 2 3 . 0 b.Comment fautil choisira 1 ,a 2 ,a 3 pour queI(f) soit le plus petit pos sible ? 3. a.En déduire qu’il existe une fonctionγet une seule satisfaisant à la condi tion (2) et donner l’expression deγ(x). CalculerI(γ). b.Tracer sur le même graphique les courbes représentatives depetγsur l’intervalle [0 ; 2]. (Unité : 5 cm.)

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