Baccalauréat C Caen septembre

Description

Niveau: Secondaire, Lycée
[ Baccalauréat C Caen septembre 1978 \ EXERCICE 1 3 POINTS On considère, dans Z2, l'équation (E) à l'inconnue (x ; y) : (E ) 6x?10y = a. où a désigne un entier relatif. 1. À quelle condition, portant sur a, l'équation (E) admet-elle des solutions ? 2. Résoudre l'équation dans la cas : a = 22. EXERCICE 2 5 POINTS Soit (un)nEN la suite numérique définie par : ? ? ? ? ? ? ? u0 = ∫1 0 1 p 1+ x2 dx un = ∫1 0 xn p 1+ x2 dx ?n, n ?N? 1. Soit f la fonction de R dans R définie par : f : x 7?? Log ( x+ √ 1+ x2 ) Déterminer la fonction dérivée de f . Calculer u0. 2. Calculer u1. Calculer u3 à l'aide d'une intégration par parties. 3. Démontrer que : ?x, x ? [0 ; 1], 06 x n p 1+ x2 6 xn . En déduire que la suite (un )n?N est une suite convergente de limite 0. PROBLÈME 12 POINTS Les trois parties peuvent être traitées indépendamment les unes des autres Soit P un plan affine rapporté au repère ( O, ??ı , ??? ) .

• systèmedes points


• droites vectorielles


• isomorphisme d'espaces vectoriels


• point de ?


• cosn pi


• ?g ?g


• matrice de?2 dans la base

Informations

• Publié par: apmep
• Publié le: 01 septembre 1978
• Nombre de lectures: 22

Extrait

[Baccalauréat C Caen septembre 1978\

E X E R C IC E 1 2 On considère, dansZ, l’équation (E) à l’inconnue (x;y) :

(E) 6x−10y=a. oùadésigne un entier relatif.

3 P O IN TS

1.À quelle condition, portant sura, l’équation (E) admetelle des solutions ? 2.Résoudre l’équation dans la cas :a=22.

E X E R C IC E 2 5 P O IN TS Soit (un)nEN la suite numérique définie par :  R 1 1  u 0 =dx  0 2 1+x n R x 1 ⋆   u n =dx∀n,n∈N 0 2 1+x 1.Soitfla fonction deRdansRdéfinie par : ³ p´ 2 f:x−7→Logx+1+x Déterminer la fonction dérivée def. Calculeru 0 . 2.Calculeru 1 . Calculeru 3 à l’aide d’une intégration par parties. 3.Démontrer que : n x n ∀x,x∈0[0 ; 1], 6 6 x. 2 1+x En déduire que la suite (u) estune suite convergente de limite 0. n n ∈N

P R O B L È M E 12 P O IN TS Les trois parties peuvent être traitées indépendamment les unes des autres ³ ´ −→−→ SoitPun plan affine rapporté au repèreO,ı,. On notera P le plan vectoriel ³ ´ −→−→ associé dont une base estı,.

Partie A Soitfl’application dePdansPqui, au pointMde coordonnées (x;y), fait corres ¡ ¢ ′ ′′ pondre le pointMde coordonnéesx;ydéfinies par : ½ ′ x=3x+5y ′ y= −2x−3y−2. 1. a.Démontrer quefest une application affine et qu’elle admet un seul point invariant. ³ ´ −→−→ b.Déterminer la matrice, dans la baseı,, de l’endomorphismeϕde P (application linéaire de P dans P) associé àf.

Le baccalauréat de 1978

A. P. M. E. P.

2.Quelle est la nature géométrique de l’applicationf=f◦f? Caractériser 4 f=f◦f◦f◦f. 3.SoitMun point quelconque deP; on note :

M 1 =f ( M) ;M 2 =f ( M 1 ) ;M 3 =f ( M 2 ) . Démontrer que l’isobarycentre (ou équibarycentre) du système des points (M,M 1 ,M 2 ,M 3 ) est un point invariant parf. Préciser ce point. 4.Métant toujours un point quelconque deP, on considère la suite (M n ) n∈ de N points dePdéfinie par : ½ M 0 =M M n+1 =f ( M n ) ∀n,n∈N. ¡ ¢ On noterax n ;y n les coordonnées deM n . 2 Démontrer qu’il existe un couple (p;q), élément deR, tel que

∀n,n∈N,x n+2 +x n =2pety n+2 +y n =2q. Partie B SoitU, l’ensemble des suites réelles définies surN.Uest muni de sa structure ha bituelle d’espace vectoriel réel. On désigne parSle sousensemble deU, dont les éléments sont les suitessqui possèdent la propriété suivante : pour toute suites, de terme générals n il existe un réelatel que, pour tout entier natureln, on ait :

s n+2 +s n =2a. 1. a.Démontrer queSest un sousespace vectoriel deU. b.Soitsun élément deS. Démontrer que :

∀n,n∈N,s n+4 =s n . En déduires n en fonction dea,s 0 ,s 1 . 3 2. a.Démontrer que, étant donné un élément (a,b,c) deR, il existe une suite s, et une seule, deStelle que :   s 0 =b s 1 =c  s n+2 +s n =2a∀n,n∈N. On noteras a,b,c la suite ainsi obtenue. 3 b.Démontrer que l’application de l’espace vectorielRdansSqui, au tri plet (a,b,c) , associes a,b,c est un isomorphisme d’espace vectoriel. c.Quelle est la dimension de l’espace vectorielS? 3.Soitu,v,wles suites de terme général respectif : π π u n =cosn;v n =sinn;w n =1. 2 2 a.Démontrer queu,v,wappartiennent àSet forment une base deS. b.Déterminer, dans la base (u,v,w), les coordonnées d’un élémentsdeS en fonction des 0 ,s 1 ,a.

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Le baccalauréat de 1978

A. P. M. E. P.

Partie C 4 SoitGl’ensemble des applications affinesgdePdansPtelles queg=g◦g◦g◦g soit l’application identique deP. On noteψl’endomorphisme de P associé àg.

1.SoitMun point quelconque de P. On note :

M 1 =g(M) ;M 2 =g ( M 1 ) ;M 3 =g ( M 2 ) . Démontrer que le pointΩ, isobarycentre du système (M,M 1 ,M 2 ,M 3 ) est in variant parg. 2 2.Quelle propriété remarquable possède l’endomorphismeψ? Quelle peut être 2 la nature géométrique deψ? 2 3.On suppose queψest la symétrie vectorielle par rapport à la droite vectorielle ³ ´³ ´ −→−→ D 1 de basee 1 , de direction la droite vectorielle D 2 de basee 2 . ³ ´ −→−→ 2 a.Écrire la matrice deψdans la basee 1 ,e 2 . b.Calculer le déterminant de cette matrice. 2 c.En déduire queψne peut être une telle symétrie vectorielle. 4.Démontrer queGest la réunion de deux ensembles disjointsG 1 etG 2 corres 2 pondant aux deux valeurs possibles deψdont on déterminera parfaitement l’un et dont on montrera que l’autre est non vide et constitué d’éléments ad mettant un seul point invariant.

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