Baccalauréat C Centres étrangers juin

Description

Niveau: Secondaire, Lycée
[ Baccalauréat C Centres étrangers juin 1998 \ EXERCICE 1 4 POINTS Commun à tous les candidats Une urne contient 5 boules blanches et 4 boules rouges indiscernables au toucher. On effectue n tirages successifs (n entier supérieur ou égal à 1) d'une boule en res- pectant la règle suivante : - si la boule tirée est rouge, on la remet dans l'urne ; - si elle est blanche, on ne la remet pas. Les parties A et B sont indépendantes. Partie A Dans cette partie n = 3. On donnera les résultats sous forme de fractions irréduc- tibles. Si k est un entier compris entre 1 et 3, on note Ek l'évènement « seule la k-ième boule tirée est blanche ». Par exemple, E1 est l'évènement « seule la première boule tirée est blanche ». 1. Montrer que la probabilité de l'évènement E1 est p(E1)= 536 . 2. Calculer les probabilités des évènements E2 et E3. En déduire la probabilité qu'on ait tiré une seule boule blanche à l'issue des trois tirages. 3. Sachant que l'on a tiré exactement une boule blanche, quelle est la probabilité que cette boule ait été tirée en dernier ? Partie B On effectue maintenant n tirages. 1. Déterminer, en fonction de n, la probabilité pn de tirer au moins une boule blanche en n tirages.

• bcde d'affixes respectives


• triangle équilatéral


• cm sur l'axe des abscisses


• courbe c1


• première boule


• boule


• probabilité


• repère orthonormal direct

Sujets

• Triangle équilatéral
• Probabilité

Informations

• Publié par: apmep
• Publié le: 01 juin 1998
• Nombre de lectures: 50
• Langue: Français

Extrait

[Baccalauréat C Centres étrangers juin 1998\

E X E R C IC E 1 4 P O IN TS Commun à tous les candidats Une urne contient 5 boules blanches et 4 boules rouges indiscernables au toucher. On effectuentirages successifs (nentier supérieur ou égal à 1) d’une boule en res pectant la règle suivante :  si la boule tirée est rouge, on la remet dans l’urne ;  si elle est blanche, on ne la remet pas. Les partiesAetBsont indépendantes. Partie A Dans cette partien=3. On donnera les résultats sous forme de fractions irréduc tibles. Sikest un entier compris entre 1 et 3, on noteE k l’évènement «seule lakième boule tirée est blanche ». Par exemple,E 1 est l’évènement « seule la première boule tirée est blanche ». 5 1.Montrer que la probabilité de l’évènementE 1 estp(E 1 )=. 36 2.Calculer les probabilités des évènementsE 2 etE 3 . En déduire la probabilité qu’on ait tiré une seule boule blanche à l’issue des trois tirages. 3.Sachant que l’on a tiré exactement une boule blanche, quelle est la probabilité que cette boule ait été tirée en dernier ? Partie B On effectue maintenantntirages. 1.Déterminer, en fonction den, la probabilitép n de tirer au moins une boule blanche enntirages. 2.Quelles valeurs fautil donner ànpour quep n >0, 99 ?

Exercice 24 points) Candidats n’ayant pas suivi l’enseignement de spécialité ³ ´ −→−→ Le plan complexe est rapporté au repère orthonormal directO,u,v. L’unité gra phique est de 3 cm. On considère les points B, C, D, E définissant le carré de sens direct BCDE d’affixes respectives :

b=1−i ;c= −1−i ;;d= −1−3i ;e=1−3i 1.Calculer|b|,|c|,|d|et|e|. 2.SoitΓle cercle de centre O passant par B. Déterminer une équation du cercle Γ. On considèreQun point deΓdistinct de B et C. L’affixe deQest notée q=x+iy(avecxetyréels). 3.SoientFetGles points du plan tels queQBF Gsoit un carré de sens direct, ³ ´ −→ −→ πg−q c’estàdire tels queQB,QG= +. On poseZ=oùgest l’affixe du 2b−q point G. Interpréter géométriquement le module et un argument deZ. En dé duireZ. 4.Prouver queg=(1+x+y)+i(1−x+y). En déduire|g|en fonction dexety. 5.En utilisant la question 2), exprimer|g|en fonction dexety. 6.À l’aide de considérations géométriques, prouver que :I f| = |g|,fétant l’af fixe du pointF.

Le baccalauréat de 1990

A. P. M. E. P.

7.Pour quelles valeurs dexet deyles points E, D,GetFsontils sur un cercle de centre O ? Préciser le rayon de ce cercle. En déduire alors la nature du triangle QBC.

Exercice 2 Candidats ayant suivi l’enseignement de spécialité

Partie A :où on construit un triangle équilatéral.

5 points

On considère la figure suivante où (Δ) et (D) sont deux droites parallèles et A un point situé entre les deux droites et n’appartenant à aucune d’entre elles. (Δ)

A

(D)

On se propose de construire un triangle équilatéral ABCtel queBetCappartiennent respectivement aux droites (D) et (Δ). π Dans toute la suite, on noteRla rotation de centre A et d’angle +. 3 ′ ′ 1.On considère la droite (D) image de (D) par la rotationR. Montrer que (D) coupe (Δ). On note C le point d’intersection de (D’) de (Δ). −1 2.SoitB=R(C). Montrer que le triangle ABC répond au problème posé. ′ 3.Construire la droite (D) et placer les points B et C. Partie B: où on calcule l’aire de ce triangle équilatétal. Soit O le projeté orthogonal de A sur la droite (D). Le plan est rapporté au repère orthonormal direct (O ,u ~ , ~ v) où u ~ est un vecteur directeur de (D) etv ~ est choisi de sorte que le point A ait pour affixe ai (a).réel positif On noteαla distance du point A à la droite (Δ). Soit B un point de (D) d’affixez B , (z B est réel). On appellez C l’affixe du point C image de B par la rotationR. 1 ¡ ¢ i ¡ ¢ 1.Montrer quez C =z B +a3+a+z B 3 . 2 2 2.En déduire que le point C appartient à la droite (Δ) si et seulement si 1 z B =(a+2α). 3 Dans la suite, on prendra cette valeur pourz B . 2 3.Exprimer ABen fonction deaet deα. 3 2 2 En déduire que l’aire du triangle équilatéral ABC estS=(a+aα+α). 3

Problème 11points Le but du problème est l’étude d’une fonctiong k , oùkest un réel fixe qui vérifie : 0<k<e. Dans la partie A on met en évidence certaines propriétés d’une fonctionfqui seront utilisées dans la partie B.

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Partie A

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juin 1998

Le baccalauréat de 1990

A. P. M. E. P.

Soitfla fonction de la variable réellexdéfinie surRpar : x f(x)=(2−x)e−k. 1.Étudier les limites defen− ∞et en+ ∞. ′ 2.Calculerf(x) . En déduire le tableau de variation def. Calculerf(1) 3. a.Établir que l’équationf(x)=0 a deux solutions, une notéeα k apparte nant à l’intervalle ]− ∞notée; 1[ et une autreβ k appartenant à l’inter valle ]1 ;+ ∞[. α α k k b.Montrer que e−kα k =(e−k) (α k −1). On démontrerait de même queβ k vérifie l’égalité ¡ ¢ β β k k e−kβ k =e−k(β k −1). 4.Préciser le signe def(x) suivant les valeurs dex. Partie B x 1.Soitula fonction de la variable réellexdéfinie surRpar :u(x)=e−k x. a.Étudier le sens de variation deu. b.On rappelle que 0<k<e. Justifier la propriété suivante

x pour tout réelx, e−k x>0. x e−k 2.Soitgla fonction définie surRpar :g(x)=. On noteCla courbe k kk x e−k x représentative de la fonctiong k dans le plan rappporté à un repère orthogo nal. a.Déterminer la limite deg k en− ∞et en+ ∞. k f(x) ′ b.Prouver que :g(x)=. k 2 x (e−k x ) c.En déduire le tableau de variation deg k . Calculerg k (1). 3.On nommeM k etN k les points de la courbeC k d’abscisses respectivesα k et β k . 1 a.En utilisant la question 3)b) (partieA), montrer queg k (α k )=. α−1 k b.Donner de mêmeg(β). k k c.Déduire de la question précédente que lorsquekvarie les pointsM k et N k sont sur une courbe fixeHdont on donnera une équation. 4.Représentations graphiques pour des valeurs particulières dek: a.Déterminer la position relative des courbesC 1 etC 2 . b.Prouver queα 2 =0. c.En prenant comme unité 2 cm sur l’axe des abscisses et 4 cm sur l’axe des ordonnées, construire les courbesC 1 ,C 2 etHsur le même graphique. On prendraα 1 = −;1, 1β 1 =;1, 8β 2 =1, 6.

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