Baccalauréat C Clermont Ferrand juin

Description

Niveau: Secondaire, Lycée
[ Baccalauréat C Clermont-Ferrand juin 1977 \ EXERCICE 1 4 POINTS Les fonctions réelles f et g sont définies par : f : R ? R x 7?? p 1+ x2 et g : R ? R x 7?? 1 p 1+ x2 Étudier les ensembles de définition des fonctions dérivées premières de f et de g , puis calculer la dérivée première, pour la valeur x de la variable, de chacune des fonctions f et g . Calculer, à l'aide d'une intégration par parties que l'on justifiera, l'intégrale ∫1 0 x3 √ (1+ x2)3 dx. Étudier la limite, lorsque l'entier naturel n tend vers l'infini, de Sn = 1 n ? ? ? ? ? ? ? ( 1 n )3 √ [ 1+ ( 1 n )2]3 + ( 2 n )3 √ [ 1+ ( 2 n )2]3 + . . .+ ( n?1 n )3 √ [ 1+ ( n?1 n )2]3 ? ? ? ? ? ? ? EXERCICE 2 4 POINTS Un plan affine euclidien P étant rapporté au repère orthonormé direct ( O, ??u , ??v ) , on associe au point M de P dont les cordonées sont xM et yM le nombre complexe zM = xM + iyM (i2 =

• repère cartésien


• équation z3


• axe des abscisses et par les droites


• affixe dem


• réel ∆


• projection orthogonale de ?

Sujets

• Coordonnées cartésiennes
• bac

Informations

• Publié par: apmep
• Publié le: 01 juin 1977
• Nombre de lectures: 36

Extrait

[Baccalauréat C ClermontFerrand juin 1977\

E X E R C IC E 1 4 P O IN TS Les fonctions réellesfetgsont définies par : g:R→R f:R→R 1 et 2 x→7−1+ x x→−7 2 1+x Étudier les ensembles de définition des fonctions dérivées premières defet deg, puis calculer la dérivée première, pour la valeurxde la variable, de chacune des fonctionsfetg. Calculer, à l’aide d’une intégration par parties que l’on justifiera, l’intégrale Z 1 3 x dx. ¡ ¢ 3 0 2 1+x Étudier la limite, lorsque l’entier naturelntend vers l’infini, de   µ ¶µ ¶µ ¶ 3 33 1 2n−1 1 nn n S n = s + +. . .+  ¶ ¸· µ 3 · µ¶ ¸ 3 · µ¶ ¸ 3  n 22 2  1 2n−1  1+1+1+ n nn

E X E R C IC E 2 4 P O IN TS ³ ´ −→−→ Un plan affine euclidien P étant rapporté au repère orthonormé directO,u,v, on associe au pointMde P dont les cordonées sontx M ety M le nombre complexe

2 z M =x M +iy M (i= −1), affixe deM. Les réelsα,β,γétant strictement positifs, les points A, B, C ont respectivement pour affixes

z=α,z B =β,z C =iγ. ′ ′′ On construit dans P les triangles équilatéraux CBA , ACBet BACde manière que ces triangles soient extérieurs au triangle ABC.

′ ′′ 1.et Cen fonction deCalculer les affixes des points A , Bα,β,γet de p 1 3 j= − +i . 2 2 res complexesz−z,z−z ′ ′′ Démontrer que les nomb A AB B , etz C −z C ont le même module. 2.On suppose queα= −1,β= +1,γ=3. Déterminer les nombres complexesa,betcde manière que l’équation 3 2 z+a z+b z+c=0 ait pour solutionsz,z,z. ′ ′ ′ A B C

P R O B L È M E 12 P O IN TS On désigne par P un plan d’un espace affine euclidien E dont la dimension est 3. −−→−−→ La distance de deux pointsMetNde E, ou norme du vecteurM N, est notée ° M N ° . À tout couple (M;N) de points de E, on associe :

Le baccalauréat de 1977

A. P. M. E. P.

−−→ α. leréelΔ(M;N)= ° M N ° si les pointsMetNont la même projection ortho gonalemsur P, −−−→−−→−−→ β. leréelΔ(M;N)= ° M m ° + ° mn ° + ° n N ° si les pointsMetNont, sur P, des projections orthogonalesmetndistinctes. ³ ´³ ´ −→−→ −→ −→−→ On choisira un repère cartésien orthonorméO,ı,,kde E tel queO,ı, soit un repère cartésien orthonormé de P. 1.On désigne partun réel quelconque. Le pointM(t) de E est défini par l’égalité −→−−−−→ →− −→ OM(t)=(cost)∙ı+(sint)∙+t∙k. et le point L de P est tel que −→→− OL=ı. t Démontrer queΔ(L,M(t))= |t| +.2 sin ¯ ¯ 2 2.Étudier les variations de la fonctionf: f: [−2π;+4π]→R t t→|7−t| +2 sin ¯ ¯ 2 Tracer la courbe représentativeFdefdans un planΓaffine euclidien, rap ³ ´ −→−→ porté au repère cartésien orthonorméΩ,u,v. On prendra le centimètre comme unité de longueur. 3.e la partie du planL’unité d’aire étant le centimètre carré, calculer l’aire dΓ limitée parFions, par l’axe des abscisses et par les droites qui ont pour équat respectivest=4Πett= −2π. 4.αoint de E telétant un réel strictement positif donné, on désigne par A le p que − −→ → OA=αk. Quel est l’ensemble des pointsMdu plan P tels que,ℓétant un réel donné,

Δ(A ;M)=ℓ? Discuter suivant les valeurs deℓ. ³ ´ −→ −→ Quel est l’ensemble des pointsNO,du plan,ktels que

Δ(A ;N)=ℓ? Discuter suivant les valeurs deℓ. 5.Étant donnés les réelsα,β,γstrictement positifs et tels queβ<α, les points − →− →− −→ →−→ A et B de E sont définies par : OA=αk, OB=γ +βk. Quel est l’ensemble des pointsSde P tels que

Δ(A ; S)=Δ(S ; B)?

Discuter suivant les valeurs respectives deγet deα−β. 6.On désigne parϕune application affine de E sur E qui a.laisse P globalement invariant et qui

ClermontFerrand

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juin 1977

Le baccalauréat de 1977

b.est telle que, quels que soient les pointsMetNde E,

Δ(M;N)=Δ(ϕ(M) ;ϕ(N)).

A. P. M. E. P.

Quelles sont les restrictions à P des applications affinesϕ? Prouver que, simest la projection orthogonale deMsur P,ϕ(m) est la projection orthogonale deϕ(M) sur P. Trouver toutes les applications affinesϕde E sur E qui possèdent les pro priétésa.etb.

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