Baccalauréat C Côte d Ivoire juin
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Baccalauréat C Côte d'Ivoire juin

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Description

Niveau: Secondaire, Lycée
[ Baccalauréat C Côte d'Ivoire juin 1977 \ EXERCICE 1 4 POINTS On sait que : { 103?1= 9?111 103+1= 7?11?13 Pour n ?N, soit A = 109n +2 ·106n +2 ·103n +1. 1. Quel est le reste de la division de A par 111 ? 2. On suppose n impair. Montrer que A est divisible par 7, par 11 et par 13. 3. On suppose n pair. a. Montrer que A?6 est divisible par 7, par 11 et par 13. b. Quel est le reste de la division de A par 111?1001 ? EXERCICE 2 5 POINTS Dans l'espace vectoriel sur R de dimension 3, rapporté à la base (?? ı , ??? , ??k ) , on dé- finit une application linéaire pour les égalités suivantes où (a ; b)? XR+?R. ? ? ? ? ? ? ? ? ? f (?? ı ) = ??ı f (?? ? ) = a??? +b ?? k f (?? k ) = a??? ?b ?? k 1. Calculer a et b pour que f soit une symétrie vectorielle ; préciser l'ensemble image et la direction. 2. Calculer a et b pour que f soit un projecteur (c'est-à-dire une application li- néaire telle que f ? f = f ).

  • courbe représentative de gn dans le plan euclidien

  • fn

  • sition relative des points

  • points question préliminaire


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Publié par
Publié le 01 juin 1977
Nombre de lectures 40
Langue Français

Exrait

[Baccalauréat C Côte d’Ivoire juin 1977\
EX E R C IC E1 4P O IN TS ½ 3 101=9×111 On sait que : 3 10+1=7×11×13 9n6n3n PournN, soitA=10+210+210+1. 1.Quel est le reste de la division deApar 111 ? 2.On supposenimpair. Montrer queAest divisible par 7, par 11 et par 13. 3.On supposenpair. a.Montrer queA6 est divisible par 7, par 11 et par 13. b.Quel est le reste de la division deApar 111×1 001 ?
EX E R C IC E2 5P O IN TS ³ ´ Dans l’espace vectoriel surRde dimension 3, rapporté à la baseı,,k, on dé finit une application linéaire pour les égalités suivantes où (a;b)XR+×R.  ³´ f ı=ı  ³´ f=a+b k ³ ´ f k=ab k 1.Calculeraetbpour quef; préciser l’ensemblesoit une symétrie vectorielle image et la direction. 2.Calculeraetbpour quefsoit un projecteur (c’estàdire une application li néaire telle queff=f). Indiquer dans chaque cas l’ensemble des vecteurs invariants et la direction. ³ ´ 3.En supposant que l’espace vectoriel est euclidien et la baseı,,kortho normée, calculeraetbpour quefsoit une rotation. On donnera l’axe et une mesure de l’angle de cette rotation.
PR O B L È M E Question préliminaire : Soitula fonction numérique de la variable réellexdéfinie par
11P O IN TS
u(x)=Log (1+x) Log (1+x) Log (1 + x) En étudiant la dérivabilité deuau point 0 (zéro), montrer que x possède une limite quandxtend vers 0. · µ¶¸ 1 En déduire quelimx.Log 1+ =1. x→+∞ x µ ¶ x 1 Calculer lim1+ x→+∞ x Partie A PournN, on considère la fonction numériquefnde la variable réellexdéfinie par n fn(x)=x(1x).
Le baccalauréat de 1977
A. P. M. E. P.
1.Étudier la variation def. Montrer que l’équation dansR:fn(x)=1 a une seule solution ou aucune sui vant la parité den. 2.Montrer que, sauf pour certaines valeurs particulières den, les courbes repré sentatives defnont deux points communs et ont même tangente en chacun de ces points. Partie B On se limite dorénavant à la restrictiongndefnà l’intervalle [0 ; 1] :
n x[1 ;1],gn(x)=x(1x) On appelle (Cn) la courbe représentative degndans le plan euclidien rapporté à un repère orthonormé.
1.Montrer que, sauf pour une valeur den,gnpossède un maximumMnet que 1 1 Mn= ∙µ ¶ n n+1 1 1+ n ³ ´ 2.Tracer (C0() ,C1() ,C2) relativement à un repèreO,ı,. Donner l’allure de (Cn) pourn>2 ; placer (Cn+1) ,par rapport à (Cnsur un même schéma (po) , sition relative des points de même abscisse et des deux points représentatifs du maximum). 3.Calculer successivement : a.limMn n→+∞ Z 1 b.In=gn(x) dx 0 c.limIn: pouvaiton prévoir ce résultat à l’aide d’un encadrement conve n→+∞ nable degn(x) et du résultat 3. b. ? Z n1 X 4.On posex[0 ; 1],Sn(x)=gi(x) dxetJn=Sn(x) dx. 0 i=0 a.CalculerSn(x) en fonction denet dex, puis – limSn n→+∞ Jn – limJn n→+∞ b.ExprimerJnen fonction deI0,I1, . . . ,In. En déduire la valeur de la somme 1 11 sn∙ ∙ ∙ += + +. 1×2 2×3 (n+1)(n+2) Calculer limsn n→+∞ Z Z 1 1³ ´ c.Comparer limSn(x) dxet limSn(x) dx. n→+∞n→+∞ 0 0 Partie C On se place à présent dans le corpsCdes complexes pournN; on pose :
n zC,hn(z)=z(1z). 1.nétant différent de 0, résoudre l’équation :hn(z)=h0(z).
Côte d’Ivoire
2
juin 1977
Le baccalauréat de 1977
A. P. M. E. P.
2.On se propose de résoudre le système suivant : ½ hn(z)=1 (I) |z| =|1z| a.Montrer que l’équation a une infinité de solutions. b.Soitz0l’une de ces solutions; calculer, en fonction du moduleρet de n l’argumentϕdez0l’argument de 1z0,le module et l’argument dez(1z0). 0 c.En déduire que le système (I) n’admet de solution que sinest congru à 1 modulo 6. Quel est alors l’ensemble des solutions de ce système ?
Côte d’Ivoire
3
juin 1977
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