Baccalauréat C Dijon juin

Description

Niveau: Secondaire, Lycée
[ Baccalauréat C Dijon juin 1983 \ EXERCICE 1 4 POINTS E est une espace affine euclidien orienté de dimension 3, rapporté à un repère or- thonormé direct ( O, ??ı , ??? , ??k ) . On note E l'espace vectoriel associé à E . Soit f l'application affine de E , qui à tout point M de coordonnées (x ; y ; z) associe le point M ? dont les coordonnées (x? ; y ? ; z ?) sont : ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? x? = x+a (a étant un réel quelconque) y ? = p2 2 y ? p2 2 z+1 z ? = p2 2 y + p2 2 z?1? p2 1. Montrer que l'endormorphisme ? associé à f est une rotation vectorielle dont on précisera l'axe et l'angle. 2. Discuter, suivant les valeurs de a, la nature de f ; on précisera dans chaque cas les éléments caractéristiques de f . EXERCICE 2 4 POINTS Soit dans un plan affine euclidien P un triangle équilatéral ABC dont la mesure d'un côté est a. On désigne par O le milieu du bipoint (B, C), par G le centre de gravité du triangle ABC et par O? le symétrique de G par rapport à O.

• application f1


• triangle équilatéral


• ?x ?r


• rotations vectorielles


• centre de gravité du triangle abc et par o?


• coef- ficients ?3


• ∆n

Sujets

• Triangle équilatéral

Informations

• Publié par: apmep
• Publié le: 01 juin 1983
• Nombre de lectures: 33
• Langue: Français

Extrait

[Baccalauréat C Dijon juin 1983\

E X E R C IC E 1 4 P O IN TS Erté à un repère orest une espace affine euclidien orienté de dimension 3, rappo ³ ´ −→−→ −→ thonormé directO,ı,,k. On noteEl’espace vectoriel associé àE. Soitfl’application affine deE, qui à tout pointMde coordonnées (x;y;z) associe ¡ ¢ ′ ′′ ′ le pointMdont les coordonnéesx;y;zsont :  ′ x=x+a(aétant un réel quelconque)   2 2 ′ y=y−z+1 2 2 2 2  ′  z=y+z−1−2 2 2 1.Montrer que l’endormorphismeϕassocié àfest une rotation vectorielle dont on précisera l’axe et l’angle. 2.Discuter, suivant les valeurs dea, la nature def; on précisera dans chaque cas les éléments caractéristiques def.

E X E R C IC E 2 4 P O IN TS Soit dans un plan affine euclidien P un triangle équilatéral ABC dont la mesure d’un côté esta. On désigne par O le milieu du bipoint (B, C), par G le centre de gravité du triangle ′ ABC et par Ole symétrique de G par rapport à O.

1.Déterminer le barycentre des points G et O respectivement affectés des coef ficients−3 et 2. Quel est l’ensembleEdes points de P tels que : −−−→ −−→−−→ ′ ° −3MG+2MO ° = ° MO °

2.Déterminer l’ensembleLdes points de P tels que :

2 22 MB+MC−2MA=k

(kétant un réel quelconque)

Comment fautil choisirkpour que cet ensemble contienne le point G ? 3.Démontrer que, quel que soit M appartenant à P :

2 2 22 2 MA+MB+MC=3MG+a

Déterminer l’ensemble r des points M tels que :

P R O B L È M E

2 2 22 MA+MB+MC=2a

Partie A On considère la fonctionfdeRdansRdéfinie par : s x−1 f(x)=. ¯ ¯ x

12 P O IN TS

Le baccalauréat de 1983

A. P. M. E. P.

1.Étudier la fonctionfet racer sa courbe représentative C dans le plan rapporté ³ ´ −→−→ à un sepère orthonormalO,ı,. On prendra pour unité 2 cm. préciser en particulier la tangente à C au point d’abscisse 1. f 1 : ]0 ;1]→R + 2.Démontrer que l’applicationest une bijection et dé x→7−f(x) −1 terminer l’application réciproquef. 1 −1 Sur une nouvelle figure, représenterf 1 etf(le repère sera toujours ortho 1 normé, d’unité 2 cm). 3.Soitgla fonction numérique définie par :

1 ∀x∈R,g(x)=. 2 1+x ⋆′ À tout end s tier naturel positifn∈N, on associe les ensemblesΔ n etΔ n éfini par : ½ ¾ 1 1−x Δ n =M(x;y) ; 6 x 6 1 et 0 6 y 6 2 1+n x ½ ¾ 1 1 ′ Δ=M(x;y) ; 0 6 x<net 6 y 6 n 2 2 1+n1+x ′ a.Montrer qest ueΔ n l’image deΔ n par une isométrie du plan, que l’on précisera. 2 b.A ( Δ n ) désignant l’aire deΔ n ), démontrer que :(en cm ·Z ¸ n n A ( Δ n ) =4g(t) dt− 2 0 1+n 4.suite défiSoit la ( a n ) n∈N nie par : Z n 1 ∀n∈N,a n =dt. 2 0 1+t a.Montrer que la suite (a n ) n∈N est croissante. b.Montrer que pour tout réelt: 1 6 1 2 1+t et que pour tout réeltnon nul : 1 1 6 2 2 1+t t c.Montrer quea 1 6 1 et que : Z n 1 1 ⋆ ∀n∈N: dt 6 1−. 2 1 1+t n d.e rnée.Montrer que la s uite (a n ) n∈N st bo Partie B 1.Justifier l’existence et la dérivabilité surRde la fonction numériqueGdéfinie par : Z x 1 ∀x∈R:G(x)=dt. 2 0 1+t

Dijon

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juin 1983

Le baccalauréat de 1983

A. P. M. E. P.

i h π π 2.Soit I= −;+et la fonctionudéfinie par : 2 2 ∀x∈I :u(x)=tanx(on note tanxla tangente dex). On pose, pour toutxde I :

H(x)=G[u(x)]. ′ Démontrer queHest dérivable sur I, déterminerH; en déduireH. π Montrer queG(1)=et déterminerA ( Δ 1 ) 4 3.On pose : µ ¶ ³ ´ 1x ∀x∈R + :h(x)=Getk(x)=G. x+1x+2 ′ ′ a.Montrer quehetksont dérivables surR + et déterminerh+k. µ ¶µ ¶ 1 1π b.Montrer queG+G=. 2 34

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