Baccalauréat C Dijon juin

Description

Niveau: Secondaire, Lycée
[ Baccalauréat C Dijon juin 1976 \ EXERCICE 1 1. Calculer en fonction de n la somme des n premiers entiers naturels non nuls, 2. Démontrer que, pour tout entier naturel non nul n : p=n ∑ p=1 p3 = ( p=n ∑ p=1 p )2 (Le candidat pourra utiliser un raisonnement « par récurrence »). Soit s la suite de terme général sn = p=n ∑ p=1 p3. Exprimer sn en fonction de n. 3. Soit Dn le plus grand diviseur commun des nombres sn et sn+1. Calculer Dn lorsque : a. n = 2k b. n = 2k +1 En déduire que, pour n > 1, Dn est différent de 1 et que trois termes consécutifs sn , sn+1, sn+2 de la suite s sont premiers entre eux dans leur ensemble. EXERCICE 2 Soit P un plan affine euclidien, rapporté à un repère orthonormé direct ( O, ??e1 ; ??e2 ) . Soit C le corps des nombres complexes. À tout point M de coordonnées (x ; y) dans le repère ( O, ??e1 ; ??e2 ) , on associe son affixe, le nombre complexe z = x + iy . On rap- pelle que i est un nombre complexe dont le carré vaut ?1.

• produit de composition des applications


• base des logarithmes népé- riens


• réel t0 de l'intervalle


• similitude directe de centreo


• application injective

Sujets

• Injection (mathématiques)

Informations

• Publié par: apmep
• Publié le: 01 juin 1976
• Nombre de lectures: 48
• Langue: Français

Extrait

[Baccalauréat C Dijon juin 1976\

E X E R C IC E 1 1.Calculer en fonction denla somme desnpremiers entiers naturels non nuls, 2.Démontrer que, pour tout entier naturel non nuln: Ã ! 2 p=n p=n X X 3 p=p p=1p=1 (Le candidat pourra utiliser un raisonnement « par récurrence »). Soitsla suite de terme général p=n X 3 s n =p. p=1

Exprimers n en fonction den. 3.SoitD n le plus grand diviseur commun des nombress n ets n+1 . CalculerD n lorsque : a.n=2k b.n=2k+1 En déduire que, pourn>1,D n est différent de 1 et que trois termes consécutifss n ,s n+1 ,s n+2 de la suitessont premiers entre eux dans leur ensemble.

E X E R C IC E 2 ³ ´ −→−→ Soit P un plan affine euclidien, rapporté à un repère orthonormé directO,e 1 ;e 2 . SoitCle corps des nombres complexes. À tout pointMde coordonnées (x;y) dans ³ ´ −→−→ le repèreO,e 1 ;e 2 , on associe son affixe, le nombre complexez=x+iy. On rap pelle que i est un nombre complexe dont le carré vaut−1. Soit A le point de coordonnées (1; 0) et B le point de coordonnées (0; 1) dans le ³ ´ −→−→ repère O,e 1 ;e 2 .

1.SoitS 1 la similitude directe de centre O, de rapport2, et dont une détermina π tion de l’angle est. Déterminer l’application deCdansCqui, à tout nombre 4 ′ ′ complexezd’imageM, associe le nombre complexezd’imageM=S 1 (M). ′ ′ 2.les images de A et B paret BSoit AS 1 . Démontrer qu’il existe une similitude ′ ′ directeS 2 et une seule qui transforme A en Bet B en A . Préciser son centre, son rapport et donner une détermination de son angle (Le candidat devra faire une figure soignée). 3.De l’étude du produitS 2 ◦S 1 où◦représente le produit de composition des applications, déduire une expression deS 2 sous la formeS 2 =S 1 ◦S,Sétant une symétrie par rapport à un point que l’on précisera.

P R O B L È M E SoitFl’ensemble des fonctions numériques de la variable réellex, définies sur l’en ⋆ sembleRdes nombres réels strictement positifs. +

Le baccalauréat de 1976

A. P. M. E. P.

SoitEl’ensemble des fonctions numériques de la variable réellet, définies et conti ′ nues sur [0 ; 1], ainsi que leur fonction dérivée premièref. On rappelle que chacun de ces deux ensembles, muni de l’addition des fonctions et de la multiplication d’une fonction par un réel, a une structure d’espace vectoriel sur le corps des nombres réels.

Partie A

1.Calculer l’intégrale Z π −t x I(x)=e dt, 0 xétant un paramètre réel strictement positif, e la base des logarithmes népé riens. 2. a.Soitgla fonction numérique de la variable réellexdonnée par :

πx g(x)=e−1−πx. Étudier le sens de variation deg; en déduire que, pour tout réelxstric tement positif,g(x) est strictement positif. b.Étudier les variations de la fonction numériqueIde la variable réellex, définie pour tout réelxstrictement positif, par : Z π −t x I(x)=e dt. 0 On ne demande pas de tracer la courbe représentative. Partie B 1. a.Soitfune fonction, élément deE. Justifier l’existence, pour tout nombre réelxstrictement positif, de l’intégrale : Z π −t x ef(t) dt. 0 b.SoitLcie l’application deEdansFqui, à tout élémentfdeEassocie la fonctionFdéfinie pour tout réelxstrictement positif, par Z π −t x F(x)=eef(t) dt. 0 Démontrer queLest une application linéaire. 2.Pour toute fonctionfdeE, on pose ¡ ¢ ′⋆ L(f)=F;L f=F. ⋆ Démontrer que la fonctionFest définie, pour tout réelxstrictement positif, par : ⋆−πx F(x)=ef(π)−f(0)+xF(x). Partie C Soitf 1 ,f 2 ,f 3 les trois fonctions numériques définies sur [0 ;π] par f 1 (t)=1 f 2 (t)=cos 2t f 3 (t)=sin 2t SoitE 1 l’ensemble des fonctions numériquesa f 1 +b f 2 +c f 3 , pour tout triplet (a,b,c) de nombres réels.

Dijon

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juin 1976

Le baccalauréat de 1976

A. P. M. E. P.

¡ ¢ 1.Démontrer queE 1 est un espace vectoriel surR, dont une baseB, estf 1 ,f 2 ,f 3 . 2.On noteL 1 la restriction deLàE 1 c’estàdire l’application deE 1 dansFdé finie par :

(∀f∈E 1 )(L 1 (f)=L(f)=F) a.Déterminer les fonctions ¡ ¢¡ ¢¡ ¢ F 1 =L 1 f 1 ,F 2 =L 1 f 2 ,F 3 =L 1 f 3 b.Soitfun élément deE 1 exprimé dans la baseB. CalculerF(x), pour tout nombre réelxstrictement positif. c.Démontrer queL 1 est une application injective. 3. a.Soitfun élément deE 1 . Justifier le fait quef([0 ;π]) est un intervalle fermé [m;M] ,avecm 6 M. b.Démontrer que, pour tout réelxstrictement positif, on a : Z −πx π −πx 1−e 1−e −t x m∙ 6 ef(t) dt 6 M∙ x 0 x c.xétant donné égal àx 0 , démontrer qu’il existe au moins un réelt 0 de l’intervalle [0 ;π] tel que −πx 1−e F ( x 0 ) =f ( t 0 ) x 0 Calculert 0 dans le cas particulier :

Dijon

f=f 1 +f 2 +f 3 etx 0 =2.

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juin 1976