Baccalauréat C Espagne juin

Description

Niveau: Secondaire, Lycée
[ Baccalauréat C Espagne 1 juin 1987 \ EXERCICE 1 4 POINTS Dans le plan complexe rapporté au repère orthonormal direct ( O, ??u , ??v ) , on associe au point m d'affixe z(z 6= 2i) le point M d'affixe Z , défini par Z = z?3+ i2i? z . 1. Déterminer et construire l'ensemble des points m tels que Z soit réel. 2. Déterminer et construire l'ensemble des points m pour lesquels 3n : argZ = 3pi2 (modulo 2pi). 3. Déterminer et construire l'ensemble des points m pour lesquels |Z | = 2. Toutes ces questions peuvent être traitées géométriquement en utilisant les points A d'affixe 2i et B d'affixe 3? i. EXERCICE 2 4 POINTS Dans le plan orienté, on trace un triangle ABC non isocèle et tel que (???AB , ???AC ) = pi 3 (modulo 2pi).Soit d1 la demi-droite d'origine B contenant A. Soit d2 la demi-droite d'origine C contenant A. On place sur d1 un point P différent de B et sur d2 un point Q différent de C, tels que BP = CQ. 1. Justifier l'existence d'une unique rotation r transformant B en C et P en Q. Préciser l'angle de r .

• courbe c1


• position relative de cn et de cn


• fn


• courbe représentative de fn dans le plan rapporté


• nature du triangle opq


• repère orthonormal direct

Informations

• Publié par: apmep
• Publié le: 01 juin 1987
• Nombre de lectures: 23
• Langue: Français

Extrait

1 [juin 1987Baccalauréat C Espagne\

E X E R C IC E 1 4 P O IN TS ³ ´ −→−→ Dans le plan complexe rapporté au repère orthonormal directO,u,v, on associe au pointmd’affixez(z6=2i) le pointMd’affixeZ, défini par z−3+i Z=. 2i−z 1.Déterminer et construire l’ensemble des pointsmtels queZsoit réel. 2.Déterminer et construire l’ensemble des pointsmpour lesquels 3n : 3π argZ=(modulo 2π). 2 3.Déterminer et construire l’ensemble des points m pour lesquels

|Z| =2. Toutes ces questions peuvent être traitées géométriquement en utilisant les points A d’affixe 2i et B d’affixe 3−i.

E X E R C IC E 2 4 P O IN TS Dans le plan orienté, on trace un triangle ABC non isocèle et tel que ³ ´ −→−→ π AB ,AC=(modulo 2π). 3 Soitd 1 la demidroite d’origine B contenant A. Soitd 2 la demidroite d’origine C contenant A. On place surd 1 un point P différent de B et surd 2 un point Q différent de C, tels que BP = CQ. 1.Justifier l’existence d’une unique rotationrtransformant B en C et P en Q. Préciser l’angle der. Construire le centre O deret prouver que ce point est indépendant de P et Q. 2.Quelle est la nature du triangle OPQ ? 3.Construire les points P surd 1 et Q surd 2 sachant que BP = CQ = PQ.

P R O B L È M E 12 P O IN TS n−n ne Ce problème a pour buts, d’une part d’étudier la suite, d’autre part de donner n! a une expression de ecomme limite d’une suite. Pour tout entiern>0, on notef n la fonction numérique définie sur l’intervalle [0 ;+∞[ par n−x xe f n (x)=. n! On appelleC n la courbe représentative def n dans le plan rapporté à un repère or ³ ´ −→−→−→−→ thogonal O,ı,. On prendrakık =2 cm etkk =10 cm.

1. Espagne,Amérique centrale

Partie A

Le baccalauréat de 1987

A. P. M. E. P.

1.Déterminer le tableau de variations def n sur [0 ;+∞[. 2.Pour tout’ entiern > 2, étudier la position relative deC n et deC n+1 et vérifier ¡ ¢ que le pointA n de coordonnéesn;f n (n) appartientàC n−1 . 3.Construire avec soin, sur un même graphique, les courbesC 1 ,C 2 etC 3 ; on placera les tangentes en O à ces trois courbes.

Partie B Le but de cette seconde partie est d’étudier la suite (u n ) définie surN∗paru n = f n (n). 1. a.En utilisant les résultats du A, démontrer que la suite (u n ) est décrois sante. b.La suite (u n ) estelle convergente ? Justifier. On se propose, dans les questions suivantes, de déterminer la limite de cette suite. 2. a.Soitgla fonction numérique définie sur l’intervalle [0 ; 1] par 2 t g(t)=ln(1+t)−t+. 4 En utilisant les variations deg, démontrer que pour touttde [0 ; 1] on a 2 t ln(1+t) 6 t−. 4 b.En déduire que pour tout entiern>0 on a µ ¶ n 1 1 1− 1+ 6 e . 4n n 3. a.Démontrer que pour tout entiern>0 on a 1 u n+1 − 4n 6 e . u n b.En déduire que pour tout entiern > 2 on a ¡ ¢ 1 11 1 −1− ++∙∙∙+ +1 u n 6 e . 4n−1n−2 2 4. a.Démontrer que pour tout entiern > 2 on a Z n 1 1 11 dt 6 1+∙ ∙ ∙ ++ +. 1 t2n−2n−1 (On pourra utiliser des considérations d’aire.) b.En déduire que pour tout entiern > 2 on a 1 −1−lnn 4 u n 6 e . c.Quelle est la limite de la suite (u n ) ?

Partie C Pour tout entiern>0 et pour tout réelapositif ou nul, fixé, on pose Z a n−t te I n (a)=dt. 0 n!

Espagne, Amérique centrale

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juin 1987

Le baccalauréat de 1987

A. P. M. E. P.

1.CalculerI n (a). 2.Démontrer que pour tout entiern>0 et tout réeltpositif ou nul, on a n t 0 6 f n (t) 6 . n! En déduire un encadrement deI n (a). 3. a.Démontrer que pour tout entiern>0, on a J... < ( :.)n ³ ´ n 1 e 6 . n!n (On pourra utiliser B 1. a. b.Déterminer alors une nouvelle majoration deI n (a) puis la limite deI n (a) quandntend vers+∞. 4. a.Établir pour tout entiern > 2 une relation entreI n (a) etI n−1 (a) (on pourra utiliser une intégration par parties). b.En déduire que pour tout entiern > 2 on a ³ ´ 2n a aa −a1+ ++∙∙∙+ 1! 2!n! I n (a)=1−e . Cette égalité restetelle valable pourn=1 ? 5.Démontrer que pour toutade [0 ;+∞[ on a µ ¶ 2n a aa a e=lim 1+ ∙ ∙ ∙ ++ +. n→+∞ 1! 2!n!

Espagne, Amérique centrale

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juin 1987