Baccalauréat C Grenoble juin

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Niveau: Secondaire, Lycée
[ Baccalauréat C Grenoble juin 1983 \ EXERCICE 1 4 POINTS Pour tout nombre complexe z, on note f (z)= z3?2z2+ z?2. 1. a. Montrer que : f (2)= 0. b. Déterminer z1, z2, z3 tels que : pour tout nombre complexe z f (z)= (z? z1) (z? z2)(z? z3) . 2. Pour tout nombre complexe z, on note : f ?(z)= (z? z1) (z? z2)+ (z? z2)(z? z3)+ (z? z3) (z? z1) . Soient M1, M2, M3 les images des nombres complexes z1, z2, z3 dans le plan complexe. a. Soit N un point d'affixe z. Si N est différent de M1, de M2, de M3 montrer que l'affixe du vecteur : 1 ? ? ? ????? NM1 ? ? ? 2 · ????? NM1 + 1 ? ? ? ????? NM2 ? ? ? 2 · ????? NM2 + 1 ? ? ? ????? NM3 ? ? ? 2 · ????? NM3 est le conjugué de f ?(z) f (z) ; b. Calculer f ?(1).

barycentre des points m1

figure no

point d'affixe z

courbe représentative dans le plan rapporté

????? nm1

équation ?

repère ortho

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Publié par	apmep
Publié le	01 juin 1983
Nombre de lectures	23
Langue	Français

Extrait

[Baccalauréat C Grenoble juin 1983\

EX E R C IC E1 4P O IN TS Pour tout nombre complexez, on note 3 2 f(z)=z−2z+z−2. 1. a.Montrer que :f(2)=0. b.Déterminerz1,z2,z3tels que : pour tout nombre complexez

f(z)=(z−z1) (z−z2) (z−z3) . 2.Pour tout nombre complexez, on note :

′ f(z)=(z−z1) (z−z2)+(z−z2) (z−z3)+(z−z3) (z−z1) . SoientM1,M2,M3les images des nombres complexesz1,z2,z3dans le plan complexe. a.SoitNun point d’afﬁxez. SiNest différent deM1, deM2, deM3montrer que l’afﬁxe du vecteur : 1−−−→1−−−→1−−−→ ∙N M1+ ∙N M2+ ∙N M3 2 2 2 −−−→−−−→−−−→ °N M1° °N M2° °N M3° ′ f(z) est le conjugué de; f(z) ′ b.Calculerf(1). SoitN1le point d’afﬁxe 1. Expliciter les coefﬁcientsα,βetϕréels de somme égale à 1 qui per mettent d’exprimerN1comme barycentre des pointsM1,M2etM3.

EX E R C IC E2 3P O IN TS ³ ´ −→−→−→ EO,est un espace, afﬁne associé à un espace vectoriel E. On désigne parı,,k un repère deE. Soitfl’application afﬁne deEdansEqui à tout pointMde coordonnées (x;y;z) ¡ ¢ ′ ′′ ′ associe le pointMde coordonnéesx;y;zdéﬁni par :  ′ x= −y+z+3  ′ y= −x+z+3  ′ z= −x−y+2z+3 1.Montrer quefest une projection dont on précisera les éléments caractéris tiques. 2.SoitPle plan afﬁne d’équationx+y−2z−3=0. Quelle est la dimension de l’image dePparf. En préciser un repère cartésien.

PR O B L È M E

Partie A Soitfla fonction deR−{−2} versRdéﬁnie par 2 1−x f(x)= 2+x

13P O IN TS

Le baccalauréat de 1983

A. P. M. E. P.

1.Pour toutxréel différent de−2, vériﬁer l’égalité 3 f(x)= −x+2−. x+2 2.Étudier les variations def, et tracer la courbe représentativeCdans le plan rapporté à un repère orthonormé (l’unité de longueur choisie étant 1 cm, ﬁ o gure n1). 3.Démontrer que la courbeCadmet un centre de symétrie. 4.Calculer l’aire de la partie du plan limitée par la courbeC, son asymptote oblique et les droites d’équationx= −1 etx=2. Partie B Soitϕla fonction deRversRdéﬁnie par sm t 2 1−sint ϕ(t)=. 2+sint

1.Pour touttréel, montrer queϕ(π−t)=ϕ(t). h i π π Expliquer comment l’étude des variations de la restriction deϕà−; 2 2 permet de construire la courbe représentative deϕ. ′ 2.Le but de cette question est de prouver que l’équationϕ(t)=0 admet une so i h π π lution, notéeα, dans l’intervalle ouvert−des questions n’est; (l’ordre 2 2 pas imposé). ′ a.Montrer que la dérivéefdefest strictement décroissante sur [−1 ; 1]. ′ Quelle est l’image de [−1 ; 1] parf? ′ b.Soitϕla dérivée deϕ. Pour touttréel, prouver l’égalité

′ ′ ϕ(t)=f(sint) cost. Prouver l’existence et l’unicité deα. Calculer la valeur exacte deϕ(α). ³ ´³ ´³ ´ π π π ′ 3. a.Calculer les valeurs exactes deϕ(0),ϕ,ϕ,ϕetϕ(0). 6 4 3 h i π b.Étudier les variations de la restriction deϕ; .à 0 2 Tracer la courbe représentative dans le plan rapporté à un repère ortho o normé (l’unité de longueur choisie étant 10 cm, ﬁgure n2). 4.En utilisant la fonctionhdeRversRdéﬁnie par

h(t)=ϕ(t)−t prouver que l’équationϕ(t)=tadmet une solution unique, notéex0, dans h i π 0 ;. 2 Montrer quex0est la seule solution de l’équationϕ(t)=tdansR. o Résoudre graphiquement l’équationϕ(t)=t2.à l’aide de la ﬁgure n Partie C Soit la suiteudéﬁnie par

Grenoble

u0=0 et∀n∈N,un+1=ϕ(un) .

juin 1983

Le baccalauréat de 1983

A. P. M. E. P.

1.Pour toutnentier naturel, on considère les pointsMnetNnayant respective ment pour coordonnées (un,un+1) et (un+1,un+1). Sur quelles courbes se trouvent respectivement les pointsMnetNn? Sur la o ﬁgure n2, placer les points

M0,N0,M1,N1,M2,N2etM3.

À l’aide du dessin, ranger par ordre croissant les nombres

u0,u1,u2,u3etx0 2.Démontrer par récurrence que · ¸ 1 ∀n∈N,un∈0 ; 2 3.Pour toutnentier naturel, prouver l’égalité Z ′ un+1−x0=ϕ(t) dt. u n x 0 En déduire que : a.Les nombresun+1−x0etun−x0sont de signes contraires. b.On a la majoration 2 |un+1−x0|| =un−x0|. 3 4.Démontrer par récurrence que µ ¶ n 2 ∀n∈N,|un−x0|6|u0−x0|. 3 En déduire que la suiteuconverge versx0.

Grenoble

juin 1983