Baccalauréat C groupe juin

Description

Niveau: Secondaire, Lycée
[ Baccalauréat C groupe 2 1 juin 1981 \ EXERCICE 1 4 POINTS 1. En utilisant l'algorithme d'Euclide : a. Montrer que 1981 et 1815 sont premiers entre eux. b. Déterminer deux entiers relatifs a et b tels que 1981a+1815b = 1. 2. En déduire que dans Z/1981Z, 1815 admet un inverse que l'on déterminera. 3. Résoudre alors dans Z/1981Z l'équation 1815x+1515 = 732. N.B.- n désigne la classe de l'entier n dans l'ensemble Z/1981Z. EXERCICE 2 4 POINTS Soit P un plan affine euclidien rapporté au repère ( O, ??ı , ??? ) orthonormé direct. Soit f l'application de P dans P qui à tout point M de coordonnées (x ; y) dans le repère ( O, ??ı , ??? ) , associe la point M ? de coordonnées (x? ; y ?) tel que ? ? ? ? ? ? ? x? = 1 2x+ p3 2 y y ? = p3 2 x+ 1 2 y 1. a. Montrer que f est bijective et déterminer l'ensemble des points inva- riants par f . b. Déterminer l'ensemble des points M de P tels que O, M , M ? soient ali- gnés.

• nature de la branche infinie


• rotation de centre m2


• allure de la courbe représentative


• tangente au point d'abscisse


• repère orthonormé

Sujets

• Base orthonormale

Informations

• Publié par: apmep
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• Langue: Français

Extrait

1 [Baccalauréat C groupe 2juin 1981\

E X E R C IC E 1 4 P O IN TS 1.En utilisant l’algorithme d’Euclide : a.Montrer que 1 981 et 1 815 sont premiers entre eux. b.Déterminer deux entiers relatifsaetbtels que 1981a+1 815b=1. 2.En déduire que dansZ/1 981Z, 1815 admet un inverse que l’on déterminera. 3.Résoudre alors dansZ/1 981Z815l’équation 1x+1 515=732. N.B.ndésigne la classe de l’entierndans l’ensembleZ/1 981Z.

E X E R C IC E 2 4 P O IN TS ³ ´ −→−→ SoitPO,un plan affine euclidien rapporté au repèreı,orthonormé direct. Soitfl’application dePdansPqui à tout pointMde coordonnées (x;y) dans le ³ ´ ¡ ¢ −→−→ ′ ′′ repère O,ı,, associe la pointMde coordonnéesx;ytel que  1 3  ′  x=x+y 2 2 3 1  ′  y=x+y 2 2 1. a.Montrer quefest bijective et déterminer l’ensemble des points inva riants parf. ′ b.Déterminer l’ensemble des pointsMdePtels que O,M,Msoient ali gnés. 2.On désigne parM 1 etM 2 les projections orthogonales du pointMrespective ³ ´³ ´ −→−→ ′ ment sur les droitesO,ıet O,. Montrer queMest le transformé deM 1 dans une rotation de centreM 2 dont on déterminera une mesure de l’angle.

P R O B L È M E

12 P O IN TS

Partie A Pour tout entier natureln, non nul, on considère la fonctionf n définie sur [0 ;+∞[ par ½ n xlogxsix>0 f n (x)= 0 six=0. 1.Étudier les fonctionsf 1 etf 2 et construire leur représentation graphique res ³ ´ −→−→ pective (C 1 ) et (C 2 ) dans un repère orthonormé du planO,ı,(on pren dra 4 cm pour unité de longueur). Préciser la position relative de (C 1 ) et (C 2 ). 2.Prouver que, pour toutn,f n est intégrable sur [0 ; 1]. On définit, alors, la suite par ( u n ) n∈N ⋆ Z 1 ⋆ ∀n∈N,u n =f n (x) dx. 0 3. a.À l’aide d’une intégration par parties, déterminer une primitive def n sur ]0 ; 1]. 1. Amiens

Le baccalauréat de 1981

A. P. M. E. P.

b.En déduire une primitive def n sur [0 ; 1]. 1 c.Montrer queu n = −et déterminerlimu n . 2 n→+∞ (n+1) d.Soit D le sousensemble du plan constitué des pointsMdont les coor ³ ´ −→−→ données (x;y) dansO,ı,vérifient 0 6 x 6 1 etf 1 (x) 6 y 6 f 2 (x). Calculer, en centimètres carrés, l’aire de D. Partie B Soitgla fonction, définie sur [0 ;+∞[ par  xlogx  six>0 2 g(x)= x+1  0 six=0. 1.Montrer quegest intégrable sur [0 ; 1]. 2.Soitxun réel quelconque. a.Calculer pour toutndeNla somme

3 5n2n+1 x−x+x−x7+ ∙ ∙ ∙ +(−1)×x. b.En déduire que 2n+3 x x 3n2n+1n+1 ∀n∈N,=x−x+ ∙ ∙ ∙ +(−1)×x+(−1) . 2 2 1+x1+x 3.En déduire que

Z Z 1 1 f 2n+3 (x) n n+1 ∀n∈N,g(x) dx=u 1 −u 3 + ∙ ∙ ∙ +(−1)u 2n+1 +(−1) dx. 2 0 0 1+x 4.On pose pour toutndeN,

n S n =u 1 −u 3 + ∙ ∙ ∙ +(−1)u 2n+1 . Z 1 a.Prouver que∀n∈Ng(x) dx−S n 6 −u 2n+3 . ¯¯ 0 Z 1 b.En déduire quelimS n =g(x) dx. n→+∞ 0 c.Déterminer un entiern 0 tel que Z 1 −2 g(x) dx−S n 0 6 10 . ¯¯ 0 Z 1 −2 En déduire une valeur approchée à 10près deg(x) dx. 0 Partie C

SoitGla fonction définie sur [0 ;+∞[ par Z x G(x)=g(t) dt. 0 1.Étudier la dérivabilité deGet son sens de variation. 1 11 2. a.Montrer que∀t∈R,t > 1, 6 6 . 2 22 2t t+1t

AixMarseille

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juin 1981

Le baccalauréat de 1981

A. P. M. E. P.

b.En déduire que Z Z x x 1 logtlogt ∀x∈R,x>1, dt 6 G(x) 6 dt. 2 1 t 1 t Z x logt c.Calculer pour toutx>1, dt. 1 t G(x) d.Déduire de ce qui précèdelimG(xlim .(On pourra poser) et x→+∞x→+∞ x X=x.) 3.Donner l’allure de la courbe représentative deG. Préciser la tangente au point d’abscisse 1 et la nature de la branche infinie. La courbe atelle une tangente au point d’abscisse 0 ? N. B. Pour obtenir une valeur approchée deG(0) on utilisera B 4. c. Pour obtenir une valeur approchée deG(2) on utilisera l’encadrement obtenu au C 2.

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juin 1981