Baccalauréat C groupe juin

Description

Niveau: Secondaire, Lycée
[ Baccalauréat C groupe 4 1 juin 1981 \ EXERCICE 1 Le but de cet exercice est de démontrer par l'absurde qu'il existe une infinité de nombres premiers de la forme 4n ? 1, où n est un élément de N? (ensemble des entiers naturels non nuls. 1. Soit E l'ensemble des nombres premiers de la forme 4n?1, où n est élément deN?. Montrer que E a au moins deux éléments. 2. On suppose E fini. Soit P le produit de tous les éléments de E et X = 4P ?1. a. Trouver un minorant de X . b. Montrer que X n'est pas divisible par 2, et en déduire que tout facteur premier de X est soit de la forme 4n+1, soit de la forme 4n?1 où n est un élément deN?. c. Montrer que X possède au moins un facteur premier de la forme 4n?1 où n est un élément deN?. 3. En considérant un facteur premier p de X de la forme 4n?1, la définition de P et la relation X = 4P ?1, achever la démonstration par l'absurde. EXERCICE 2 Dans un plan affine P rapporté au repère cartésien ( O, ??ı , ??? ) , soit A et B les points de coordonnées respectives (?1 ; 0) et (0 ; 1), et soit t un nombre réel non nul.

• aix marseille


• aix-marseille - nice - corse - montpellier - toulouse


• sin t2


• points de coordonnées respectives

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• Langue: Français

Extrait

1 [juin 1981Baccalauréat C groupe 4\

E X E R C IC E 1 Le but de cet exercice est de démontrer par l’absurde qu’il existe une infinité de ∗ nombres premiers de la forme 4n−1, oùnest un élément deN(ensemble des entiers naturels non nuls. 1.Soit E l’ensemble des nombres premiers de la forme 4n−1, oùnest élément ∗ deN. Montrer que E a au moins deux éléments. 2.On supposeEfini. SoitPle produit de tous les éléments de E etX=4P−1. a.Trouver un minorant deX. b.Montrer queXn’est pas divisible par 2, et en déduire que tout facteur premier deXest soit de la forme 4n+1, soit de la forme 4n−1 oùnest ∗ un élément deN. c.Montrer queXpossède au moins un facteur premier de la forme 4n−1 ∗ oùnest un élément deN. 3.En considérant un facteur premierpdeXde la forme 4n−1, la définition de Pet la relationX=4P−1, achever la démonstration par l’absurde.

E X E R C IC E 2 ³ ´ −→−→ Dans un plan affine P rapporté au repère cartésienO,ı,, soit A et B les points de coordonnées respectives (−1 ;0) et (0 ; 1), et soittun nombre réel non nul. On désigne parf,g,hles homothéties de rapporttA, B.et de centres respectifs O, À tout pointMdu plan P, on fait correspondre successivement les points :M 1 = f(M),M 2 =g ( M 1 ) ,M 3 =h ( M 2 ) etM 4 =f ( M 3 ).

1.Représenter sur un même figure les pointsM 1 ,M 2 ,M 3 ,M 4 dans le cas oùt=2 −−→−−→−−→→→ et OM=ı+. (On pourra donner aux représentations deıetla longueur 0,5 cm). −−−→−→−→ 2.Exprimer le vecteur OM 4 en fonction detet des vecteursıet. 3.Soitϕ t l’application du plan P dans luimême définie par :

pour tout pointMde P,ϕ t (M)=f◦h◦g◦f(M). Déterminer suivant les valeurs detl’ensemble des points de P invariants par ϕ t et préciser dans chaque cas la nature deϕ t .

P R O B L È M E ∗ On noteraNl’ensemble des entiers naturels,Nl’ensemble des entiers naturels non ′ nuls,Nl’ensemble des entiers naturels privés des nombres 0 et 1. Partie A ∗ On considère les suitesuetvdéfinies surNpar   1 11   u 1 =1  u n + ∙ ∙ ∙ += + 2 22 ′ 1 2n et, pour toutn, élémentdeN  1 11  v 1 =1  v n =1+ + +∙ ∙ ∙ + 1×2 2×3 (n−1)n 1. AixMarseille Nice  Corse  Montpellier  Toulouse

Le baccalauréat de 1981

′ 1.Trouver deux réelsAetBtels que, pour toutn, élément deN

1A B = +. (n−1)n n−1n ′ En déduire que, pour toutn, élément deN,

A. P. M. E. P.

1 v n =2−. n ′ 2.Montrer que la suiteuest croissante, que, pour toutn, élément deN:u n 6 v n , que la suiteuest majorée. Partie B On rappelle que siqest un nombre complexe différent de 1 etnun élément deN n+1 1−q 2n 1+q+q+ ∙ ∙ ∙ +q=. 1−q ′ 1.Soittun élément de [0 ;π] ; on pose pourn, élément deN

n n X X C n (t)=cosk tetS n (t)=sink t. k=1k=1 a.Calculer le nombre complexeC n (t)+iS n (t). En déduire que sitest un élément de ]0 ;π] n tn+1 sin cost 2 2 C n (t)= t sin 2 et sit=0,C n (0)=n. b.L’applicationC n de [0 ;π] dansNestelle continue sur [0 ;π]. 2.Vérifier que pour toutt, élément de ]0 ;π] : 2n+1 sint 2 1+2C n (t)= t sin 2 2n+1 sint 2 et montrer que l’application de ]0 ;π] dansRqui àtassocie peut t sin 2 être prolongée en une fonctiong n continue sur [0 ;π]. ∗ 3.Montrer que pour toutn, élément deN, Z µ¶ π 2 t1 −tcosn tdt=. 2 0 2πn En déduire que Z µ¶ π 2 t u n = −t C n (t) dt. 0 2π

AixMarseille

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juin 1981

Le baccalauréat de 1981

4.Vérifier que Z µ¶ π 2 2 1tπ t−dt=. 2 0 2π6 ∗ et que, pour toutn, élément deN: Z µ¶ 2 π 2 π1t −u n =t−g n (t) dt. 6 2 0 2π Partie C

A. P. M. E. P.

On considère la fonction numériquefdéfinie sur [0 ;π] parf(0)=2 et pour toutt, élément de ]0 ;π]

2 t t− 2π f(t)=. t sin 2 1.Montrer quefest continue sur [0 ;π] ; en déduire l’existenced’un réelMtel que, pour toutt, élément de [0 ;π] :

0 6 f(t) 6 M. 2.Soitαun réel fixé tel que 0<α<π. a.Montrer que, pour toutn, élément deN, Z α 2n+1 f(t) sintdt 6 αM. ¯ ¯ 0 2 ′ b.Montrer quefest dérivable sur [α;π] et que la fonction dérivéefest continue sur ce segment. ′ En déduire l’existence d’un réelMtel que, pour toutt, élément de [α;π] ′ ′ f(t) 6 M. c.On pose, pour toutn, élément deN, Z π 2n+1 I n =f(t) sintdt. α 2 Montrer en utilisant une intégration par parties, que

3.Déduire de la question C 2. que

AixMarseille

limI n =0. n→+∞

2 π limu n =. n→+∞ 6

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