Baccalauréat C groupe juin

Description

Niveau: Secondaire, Lycée
[ Baccalauréat C groupe 4 1 juin 1989 \ EXERCICE 1 4 POINTS Dans le plan orienté on considère un triangle rectangle isocèle ABC tel que l'angle (???AB , ???AC ) a pour mesure pi2 .Soit I le milieu du segment BC. On note RB la rotation de centre B et d'angle de mesure pi2 , RC la rotation de centre C et d'angle de mesure pi2 et T la translation de vecteur ???BC . On se propose de trouver par deux méthodes la nature et les éléments caractéris- tiques de la transformation : S=RC ?T?RB. 1re méthode : Utilisation des nombres complexes On rapporte le plan au repère orthonormal direct ( A ; ???AB , ???AC ) . 1. Donner l'écriture complexe des transformations RB, RC, T puis S. 2. Caractériser alors S. 2e méthode : Utilisation des propriétés des transformations 1. Déterminer, sans calcul, la nature de S. 2. Préciser l'image de B par S. 3. Caractériser S. EXERCICE 2 4 POINTS Dans le plan orienté on donne un point O et une droite orientée D passant par O. Soit D? la droite orientée se déduisant de D par le quart de tour direct de centre O. Soit I un point du plan n'appartenant ni à D ni à D?, H et H? les projections orthogo- nales de I respectivement sur D et D'.

• unique similitude directe du plan


• plan orienté


• cercle sur la figure


• écriture complexe des transformations rb


• plan au repère orthonormal direct

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• Langue: Français

Extrait

1 [Baccalauréat C groupe 4juin 1989\

E X E R C IC E 1 4 P O IN TS Dans le plan orienté on considère un triangle rectangle isocèle ABC tel que l’angle ³ ´ −→−→ π AB ,AC apour mesure. 2 Soit I le milieu du segment BC. π On note R B , Rla rotation de centre B et d’angle de mesure C la rotation de centre 2 π −→ C et d’angle de mesureet T la translation de vecteur BC . 2 On se propose de trouver pardeux méthodesla nature et les éléments caractéris tiques de la transformation :

S=R C ◦T◦R B . re 1 méthode: Utilisation des nombres complexes ³ ´ −→−→ On rapporte le plan au repère orthonormal directA ;AB ,AC . 1.Donner l’écriture complexe des transformations R B , R C , T puis S. 2.Caractériser alors S.

e 2 méthode: Utilisation des propriétés des transformations

1.Déterminer, sans calcul, la nature de S. 2.Préciser l’image de B par S. 3.Caractériser S.

E X E R C IC E 2 4 P O IN TS Dans le plan orienté on donne un point O et une droite orientéeD passant par O. ′ Soit Dla droite orientée se déduisant de D par le quart de tour direct de centre O. ′ ′ Soit I un point du plan n’appartenant ni à D ni à D, H et Hles projections orthogo nales de I respectivement sur D et D’. 28 ′ On supposera I choisi de telle sorte que OH>0 et OH>0. ′ Les figures demandées seront réalisées en choisissant OH = 4 cm et OH=2 cm. À chaque pointMde D distinct de O on associe le cercleC M passant par 0, 1 et M. 1. a.SiMest en O on convient queC O est le cercle tangent en O à D et passant par I. Préciser le centre deC O et placer ce cercle sur la figure. b.Montrer qu’il existe un point A de D et un seul tel que le cercleC A soit ′ tangent à D . Préciser le centre deC A et placer ce cercle sur la figure. ′ Le cercleC M s’il n’est pas tangent à D , recoupe cette droite en un point ′ ′′ M autreque O (en particulierC O recoupe Den un point O ). ′ SiM= O.est en A, on convient que A On se propose d’étudier la transformation qui à tout pointMde D asso ′ cieM. ′ ′ 2.Soitset A à Al’unique similitude directe du plan associant O à O= O. On ′ précise que O a pour image Oet que A a pour image O. π a.Montrer que l’angle desadmet pour mesure−. 2 1. Orléans Tours, Bordeaux, Caen, ClermontFerrand, Limo ges, Nantes, Poitiers, Rennes,

Le baccalauréat de 1989

A. P. M. E. P.

b.Déterminer le centre de cette similitude (on établira qu’il appartient à C O etC A ). c.Déterminer l’image de H parset en déduire le rapport des. 3.Prouver que pour tout pointMde D,

′ s(M)=M.

P R O B L È M E 12 P O IN TS Le but du problème est d’étudier la fonctionfdéfinie sur ]0 ;+∞[ par : 1 ¡ ¢ 2 f(x)=x+1−lnx x et de construire sa courbe représentativeC, ce qui fait l’objet de la partie A., puis de décrire un procédé d’approximation du nombre a pour lequelfatteint son mi nimum, ce qui fait l’objet de la partie B. A. Étude de f et construction de C

1.Étude d’une fonction auxiliaire

Soitgla fonction numérique définie sur ]0 ;+∞[ par :

2 g(x)=x+lnx−2 a.Étudier le sens de variation deget ses limites en 0 et+∞. (On ne de mande pas la représentation graphique deg.) b.En déduire que l’équationg(x)=0 admet une solutionαet une seule et que :

1, 30 6 a 6 1, 35. c.Étudier le signe deg(x). 2.fÉtude de a.Étudier les limites defen 0 et+∞. ′ b.Exprimerf(x) à l’aide deg(x). En déduire le sens de variation def. 3.Construction de la courbeC ³ ´ −→−→ Le plan est rapporté au repère orthonormalO,ı,. On choisit pour unité graphique 2 cm. a.Montrer que la droiteΔd’équationy=xest asymptote en+∞à la courbe C. b.Déterminer le point d’intersection B deCetΔ; préciser la position deC par rapport àΔ. c.Construire la courbeCet la droiteΔ, en précisant la tangente en B àC. 4.Calcul d’une aire Pour tout nombre réelt > e, calculer l’aireA(t) de la portion de plan comprise entreCetΔet les droites d’équationsx=e etx=t.

B. Approximation deα 1. a.Montrer que l’équationg(x)=0 est équivalente à l’équationh(x)=x, où hest la fonction définie sur I = [1,30 ; 1,35] par :

Orléans  Tours

h(x)=2−lnx.

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juin 1989

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A. P. M. E. P.

b.Justifier la décroissance dehsur I et montrer que pour tout élémentxde I,h(x) appartient à I. c.Prouver que, pour tout élémentxde I,

1 ′ − 6 h(x) 6 0. 3 d.En déduire que pour tout élémentxde I,

1 |h(x)−α| 6 | x−α | u˚ 3 2.Soit (u n ) la suite d’éléments de I définie par la relation de récurrence u n+1 =h ( u n ) et la condition initialeu 0 =1, 30. a.Montrer que pour tout entiern

1 | u n+1 −α | 6 | u n −α | . 3 b.En déduire que pour tout entiern µ ¶ n 5 1 | u n −α | 6 . 100 3 c.Déterminer la limite de la suite (u n ). −6 ¯ ¯ d.Préciser un entierntel queu−α 6 10 etdonner la valeur deu n 0 . 0n 0

Orléans  Tours

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