Baccalauréat C groupe juin

Description

Niveau: Secondaire, Lycée
[ Baccalauréat C groupe 4 1 juin 1984 \ EXERCICE 1 4 POINTS Soit ( O, ??ı , ??? , ??k ) un repère orthonormé direct de l ?espace E. On désigne par : – R1 la rotation d'axe Oz orienté par ?? k , et d'angle pi6 – R2 la rotation d'axe Oz orienté par ?? k , et d'angle 5pi6 – T1 la translation de vecteur (1 2 ?? k ) – T2 la translation de vecteur ( ?2??k ) On considère les vissages : V1 = R1 ?T1 = T1?R1etV2 =R2 ?T2 = T2 ?R2. 1. Étant donné un point M quelconque de E, calculer en fonction des coordon- nées (x ; y ; z) de M les coordonnées des points suivants : V1(M),V2(M),V1 ?V2(M),V2 ?V1(M). 2. Caractériser les transformations V1 ?V2 et V2 ?V1, et expliquer sans calculs les résultats obtenus. EXERCICE 2 4 POINTS Dans le plan P muni du repère orthonormé ( O, ??ı , ??? ) , on définit les trois points : A(1 ; 0) ; B (3 2 ; 1 2 ) ; C (3 2 ; ? 1 2 ) et la droite D dont une équation est : x = 1.

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• Langue: Français

Extrait

1 [Baccalauréat C groupe 4juin 1984\

E X E R C IC E 1 ³ ´ −→−→ −→ Soit O,ı,,kun repère orthonormé direct de l ?espace E. On désigne par : −→ π –R 1 la rotation d’axe Ozorienté park, et d’angle 6 −→ 5π –R 2 la rotation d’axe Ozorienté park, et d’angle 6 µ ¶ 1 −→ –T 1 la translation de vecteurk 2 ³ ´ −→ –T 2 la translation de vecteur−2k On considère les vissages :V 1 =R 1 ◦T 1 =T 1 ?R 1 e t V 2 =R 2 ◦T 2 =T 2 ◦R 2 .

4 P O IN TS

1.Étant donné un pointMquelconque de E, calculer en fonction des coordon nées (x;y;z) de M les coordonnées des points suivants :

V 1 (M),V 2 (M),V 1 ◦V 2 (M),V 2 ◦V 1 (M).

2.Caractériser les transformationsV 1 ◦V 2 etV 2 ◦V 1 , et expliquer sans calculs les résultats obtenus.

E X E R C IC E 2 4 P O IN TS ³ ´ −→−→ Dans le plan P muni du repère orthonorméO,ı,, on définit les trois points : µ ¶µ ¶ 3 13 1 A(1 ;0) ; B; ;C ;− 2 22 2 et la droiteDdont une équation est :x=1. −→−→ 1.Déterminer les coordonnées du point G tel que CG=AB . Quelle est la nature du quadrilatère (A, B, G, C) ? 2.On note (Γ) l’ensemble des pointsMde P, de coordonnées (x;y), qui vérifient la relation :

2 2 22 −MA+MB+MC=2(x−1) .

a.Montrer que B et C appartiennent à (Γ). b.Montrer que (Γ) est l’ensemble des pointsMde P tels que :

MG=2d(M,D) oùd(M,D) désigne la distance deMà la droiteD. c.En déduire la nature de (Γ) et préciser ses éléments remarquables. Re ³ ´ −→−→ présenter (ΓO,) dans le repèreı,.

P R O B L È M E 12 P O IN TS N.B. : Il n’est pas nécessaire d’avoir traité la partie A pour aborder la suite. 1. AixMarseille Nice  Corse  Montpellier  Toulouse

Le baccalauréat de 1984

A. P. M. E. P.

³ ´ −→−→ Soit P un plan affine euclidien orienté rapporté au repère orthonormé directO,ı,; les points de P sont repérés, soit par leurs coordonnées (x;y), soit par leur affixe x+iy. Le but du problème est l’étude de l’ensemble (Γ) des pointsM(t),t∈R, du plan P, de coordonnées (x(t) ;y(t)) telles que : ½ t x(t)=e cost t y(t)=e sint. Partie A 1. a.Vérifier, pour tout réelt, les relations : ³ ´ π cost−sint=2 cost+ 4 et ³ ´ π cost+sint=2 sint+ . 4 b.Étudier les variations des fonctionsx:t→−7x(t) ety:t→−7y(t) sur l’in h i π tervalle 0; . 2 ³ ´ −→−→ c.Tracer dans le repèreO,ı,la portion de (Γ), ensemble des points h i π M(t) lorsquetdécrit 0; . 2 (on aura soin, en particulier, des représenter les pointsM(0),M(π/4),M(π/2) et les tangentes à (Γ) en ces points.) 2.Calculer, pour tout réelt:    á −−→ á −−→ −−→ dOM −−→ dOM    cos OMsin O; etM; . dtdt   á −−→ −−→ dOM   En déduire que l’angleOMconstant et en donner une mesure.; est dt Z −−→ b dOM b 3.On pose, pour tout réelaetb,L=dt. a ° ° a dt π 2 −2 Donner l’expressionLprès.et en calculer une valeur approchée à 10 0 0 Étudier la limite éventuelle deLlorsquettend vers−∞. t Partie B 1.Montrer que les fonctionsxetysont des solutions surRd’une même équation différentielle linéaire et homogène du second ordre à coefficients constants. 2.Résoudre dansRl’équation différentielle :

′′ ′ X−2X+2X=0. Partie C 1.Pour tout réelt, on notef t l’application de P dans P qui, au pointMd’affixe Zfait correspondre le pointM 1 d’affixeZ 1 telle queZ 1 =z(t)Z, oùz(t) est l’affixe du pointM(t) défini dans la partie A. a.Préciser la nature def t et ses éléments remarquables.

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Le baccalauréat de 1984

A. P. M. E. P.

′ b.Montrer que, pour touttettréels,f t ◦f=f. ′ ′ t t+t Soit G l’ensemble des applicationsf t ,t∈R. Montrer que (G,◦) est un groupe commutatif des transformations du plan P. 2. a.Montrer que, pour touttett 1 réels,f t ( M ( t 1 )) =M ( t+t 1 ). En déduire que, pour tout réelt,f t (Γ)=(Γ). b.Montrer que, siM 1 =M ( t 1 ) est un point quelconque de (Γ), l’ensemble : © ª f t ( M 1 ) ,t∈Rest égal à (Γ). Partie D ∗ Soittun réel fixé non nul. On note A 0 le pointM(0) et on définit les pointsA n (n∈N par la relation de récurrence :

A n =f t ( A n−1 ) sin > 1. 1. a.Calculer en fonction detla longueur A 0 A 1 . b.Montrer que la suite (A n−1 A n ) des longueursA n−1 A n est une suite géo métrique. c.En déduire une expression de :

L n (t)=A 0 A 1 +A 1 A 2 + ∙ ∙ ∙ +A n−1 A n

en fonction denett.

2.On supposet<lim0. Montrer l’existence deL n (t) et calculer sa valeurL(t). n→+∞ 2t t e−2e cost+1 1−cost t Montrer que=1+2e . ¡ ¢¡ ¢ 2 2 t t 1−e 1−e En déduire la limite deL(t) lorsquettend vers zéro par valeurs négatives. 0 Comparer ce résultat à la limite deLtrouvée au A 3. t

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