Baccalauréat C groupe juin

Description

Niveau: Secondaire, Lycée
[ Baccalauréat C groupe 4 1 juin 1983 \ EXERCICE 1 3 POINTS 1. Quel est l'ensemble des nombres complexes z vérifiant |z?1| = ??z+1?? ? Expliquer géométriquement le résultat trouvé, en considérant un plan affine euclidien rapporté à un repère orthonormé direct ( O, ??u , ??v ) et en associant à tout point M(x ; y) du plan son affixe z, c'est à dire le nombre complexe défini par z = x+ iy . 2. Soit n ?N?. Déterminer l'ensemble des nombres complexes z vérifiant (z?1)n = (z+1)n . EXERCICE 2 4 POINTS Soit f la fonction numérique définie sur R par : f (x)= xe1?x . 1. Étudier la fonction f (variations et limites) ; tracer la courbe représentative dans un repère orthonormé. 2. a. Soit n ?N?. Pour tout x ?R on pose : g (x)= 1+ x+·· · + xn = n ∑ k=1 ck . et Sn(x)= 1+2x+·· · +nxn?1 = 1+ n ∑ k=2 kxk?1. Pour x 6= 1, justifier que g (x)= 1? x n+1 1? x . En déduire, par dérivation pour x 6= 1, une expression de Sn(x).

• aix marseille


• plan d'équation z


• équa- tion de p??? dans le repère


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• repère orthonormé

Sujets

• Base orthonormale

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Extrait

1 [juin 1983Baccalauréat C groupe 4\

E X E R C IC E 1 3 P O IN TS ¯ ¯ 1.Quel est l’ensemble des nombres complexeszvérifiant|z−1| =z+1 ? Expliquer géométriquement le résultat trouvé, en considérant un plan affine ³ ´ −→−→ euclidien rapporté à un repère orthonormé directO,u,vet en associant à tout pointM(x;y) du plan son affixez, c’est à dire le nombre complexe défini parz=x+iy. ∗ 2.Soitn∈N. Déterminer l’ensemble des nombres complexeszvérifiant ¢ n n (z−1)=z+1 .

E X E R C IC E 2 Soitfla fonction numérique définie surRpar :

4 P O IN TS

1−x f(x)=xe . 1.Étudier la fonctionf; tracer la courbe représentative(variations et limites) dans un repère orthonormé. ∗ 2. a.Soitn∈N. Pour toutx∈Ron pose :

et

n X n k g(x)=1+x+ ∙ ∙ ∙ +x=c. k=1

n X n−1k−1 S n (x)=1+2x+ ∙ ∙ ∙ +n x=1+k x. k=2 n+1 1−x Pourx6=1, justifier queg(x)=. En déduire, par dérivation pour 1−x x6=1, une expression deS n (x). ∗ b.Pour toutn∈Non pose

n X s n =f(1)+f(2)+ ∙ ∙ ∙ +f(n)=f(k). k=1 Déterminer une expression des n . Quelle est la limite de la suite (s n ) quandntend vers+∞?

P R O B L È M E 13 P O IN TS La seconde partie est indépendante de la première ; et dans la première, la partie B ne dépend pas de A. Dans tout le problème, E est un espace affine euclidien de dimension 3 rapporté à ³ ´ −→−→ −→ un repère orthonorméO,ı,,kdont les axes sont notés Ox, Oyet Oz. Partie I. On noteΩetΩ0 ; ?1). On dirales points de coordonnées respectives (0 ; 0 ; 1) et (0 ; qu’une isométrie laisseinvariantun sous ensemble G de E si et seulement sif(G) = G. A.

1. AixMarseille Nice  Corse  Montpellier  Toulouse

Le baccalauréat de 1983

A. P. M. E. P.

1.Soitfune isométrie affine de E vérifiantf(O) = O et laissant la droite Ozinva −→ riante. On notefl’endormorphisme associé. a.Établir quef(Ω) est égal àΩouΩ. −→ Quelles sont les valeurs possibles def ( k) ? ³ ´³ ´ −→ −→−→ −→−→ Montrer quef ıetfsont orthogonaux àk. ¡ ¢ ′ ′ ′ b.Soit M un point de coordonnées (x;y;z), soitx;y;zles coordon ′ nées du point Mimage de M parf. ′2 2 Montrer quez=z. Puis en déduire que

′2′2 2 2 x+y=x+y. 2.Quels sont les déplacementsfde E vérifiantf(O) = O et qui laissent la droite Ozinvariante ?

B.Dans toute la suite du problème, on noteΓle sous ensemble de E défini par l’équation 2 2 2 x+y=z. 1. a.Étudier l’intersection deΓavec le plan d’équationx=0. Faire une figure. b.Pour toutλréel, on note P λ le plan d’équationz=λ. Donner une équa ³ ´ −→−→ tion de P λ ∩Γdans le repèreω λ ;ı,oùω λ est le point de coordon nées (0 ; 0 ;λ). Quelle est la nature de P λ ∩Γlorsqueλ6=0 ? Préciser P 0 ∩Γ. 2. a.Soit A un point quelconque deΓ, distinct de O. Montrer que la droite (OA) est incluse dansΓ. b.SoitΔun droite incluse dansΓ. Montrer queΔpasse par O. (On pourra étudier l’intersection deΔet P 0 ).

C. 1.Soitfune isométrie affine de E vérifiantf(O) = O et laissant globalement in variante la droite Oz. Déduire des résultats de la question A 1. quef(Γ)=Γ. Dans la question suivante, on va établir qu’il s’agit là des seules isométries laissantΓinvariant. 2.Soit, maintenant,fune isométrie de E vérifiantf(Γ)=Γ. a.Établir quef(O) = O. (On pourra considérer deux droites distinctes in cluses dansΓ.) b.Soit M un point deΓ, de coordonnées (x;y;z). Quelle est en fonction dezseulement, la distance de M à O ? SoitS2. Vérifier quela sphère de centre O et de rayonS∩Γest l’union deux deux cercles dont on précisera les plans les contenant, les rayons et les centres. c.Montrer quef(S∩Γ)=S∩Γ; en déduire quef(ω) est égal àΩouΩ. Que peuton en conclure pour l’image de la droite Ozparf?

Partie II. p p On considère la planΠd’équationy+z3=3.

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Le baccalauréat de 1983

A. P. M. E. P.

1.Déterminer les points B et C d’intersection deΠavec, respectivement Oyet Oz. −→−→→− On définitupar : BC=BCu, où BC est la distance de B à C. ³ ´ −→−→−→ Calculer les coordonnées deu. Vérifier queB ;ı,uest un repère ortho normé deΠ. 2.Soit M un point quelconque deΠ, de coordonnées (X;Y) dans le repère ³ ´ −→−→ B ;ı,u. ³ ´ −→−→ −→ Montrer que les coordonnées (x;y;zO,) de M dans le repèreı,,kde E sont données par :

3Y x=X,y=3−Y,z=. 2 2 3.SoitEl’ensemble des points M du planΠdont les coordonnées (x;y;z) dans ³ ´ −→−→ −→ 2 2 2 le repèreO,ı,,kde E vérifientx+y−z=0. ³ ´ −→−→ Trouver une équation cartésienne deEdans le repèreB ;ı,udeΠ. Quelle est la nature deE? Le planΠétant pris comme plan de feuille, tracerE. 4.On considère l’applicationgde E dans luimême qui à tout point M de coor ¡ ¢ ′ ′′ ′ données (x;y;zde coordonnées) associe le point Mx;y;zdéfini par :  ′ x=x2  p ′ y=y3+z  ′ z=y+z3. ′2′2′2 22 2 Comparerx+y−zetx+y−z. Quelle est l’image deΠparg? Si vous avez traité la première partie, commentez éventuellement brièvement.

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