Baccalauréat C groupe juin

Description

Niveau: Secondaire, Lycée
[ Baccalauréat C groupe 4 1 juin 1988 \ EXERCICE 1 4 POINTS ? étant un nombre réel de l'intervalle ]O ; 2pi[, on considère les deux nombres com- plexes : z = ei?, (ou encore z = cos?+ i sin?) et Z = 1+ z1? z et on note |Z | le module de Z . 1. Montrer que Z = icotan?2 où cotan ? 2 = cos ?2 sin ?2 . 2. Pour quelles valeurs de ? l'argument de Z est-il défini ? À quoi est-il alors égal ? (On distinguera deux cas suivant les valeurs de ?.) 3. A quoi est égal |Z | ? 4. On pose I = ∫pi pi 2 |Z |d?. Justifier l'existence de cette intégrale et la calculer (on pourra mettre |Z | sous la forme k u ?(?) u(?) où k est un nombre réel et u une fonc- tion de ?. EXERCICE 2 4 POINTS On considère dans le plan orienté deux cerclesC1 et C2 demême rayon r , de centres respectifs O1 et O2 et tangents extérieurement en A. On appelle f la transformation obtenue en effectuant d'abord la translation T de vecteur?????O1O2 puis la rotation R de centre O2 et d'angle+ pi 3 (modulo 2pi), (on donnedonc f =R?T).

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• argument de z


• point quelconque de c1


• fonc- tion de ?

Informations

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• Langue: Français

Extrait

1 [Baccalauréat C groupe 4juin 1988\

E X E R C IC E 1 4 P O IN TS θétant un nombre réel de l’intervalle ]O; 2π[, on considère les deux nombres com plexes : 1+z iθ z=e ,(ou encorez=cosθ+i sinθ) etZ= 1−z et on note|Z|le module deZ. θ cos θ θ 2 1.Montrer queZ=icotan oùcotan=. θ 2 2 sin 2 2.Pour quelles valeurs deθl’argument deZestil défini ? À quoi estil alors égal ? (On distinguera deux cas suivant les valeurs deθ.) 3.A quoi est égal|Z|? Z π 4.On poseI= |Z|dθ. Justifier l’existence de cette intégrale et la calculer (on π 2 ′ u(θ) pourra mettre|Z|sous la formekoùkest un nombre réel etuune fonc u(θ) tion deθ.

E X E R C IC E 2 4 P O IN TS On considère dans le plan orienté deux cerclesC 1 etC 2 de même rayonr, de centres respectifs O 1 et O 2 et tangents extérieurement en A. On appellefla transformation obtenue en effectuant d’abord la translation T de −−−→ π vecteur O 1 O 2 puis la rotation R de centre O 2 et d’angle+(modulo 2π), (on donne 3 doncf=R◦T). 1.Dessiner la figureFformée parC 1 etC 2 en prenantr=4 cm. 2.Soit M 1 un point quelconque deC 1 . Montrer que M 2 =f(M 1 ) est un point deC 2 . Faire apparaître M 1 et M 2 sur la figureF. 3.Déterminer l’image de O 1 parf. ′ 4.On pose A=f(A) et on appelle B le symétrique de A par rapport à O 2 , ′ ′ Que peuton dire du triangle 0 2 sur la figure? Placer le point AA ’BF. 5.Montrer quefest une rotation dont on précisera l’angleαet le centre I. Placer I sur la figureF. Que peuton dire du triangle O 1 O 2 I ? Exprimer AI en fonction der.

P R O B L È M E 12 P O IN TS Sans être totalement indépendantes, les trois parties du problème peuvent abordées dans un ordre quelconque I.Soitfla fonction définie sur l’intervalle ]0 ;+∞[ par :

x3 f(x)= p+ 2x 3 ³ ´ −→−→ et soitCla courbe représentative defO,dans un repère orthonorméı,.

1. AixMarseille Nice  Corse  Montpellier  Toulouse

Le baccalauréat de 1988

A. P. M. E. P.

1. a.Étudier les variations defsur l’intervalle ]0 ;+∞[. b.Préciser les équations des asymptotes deC(pour déterminer l’une ces µ ¶ x asymptotes, on étudieralimf(x)−. x→+∞ 3 c.Tracer la courbeC. 2. a.Soitmun nombre réel et soitΔla droite d’équationy=m. Discuter, suivant les valeurs dem, le nombre de points d’intersection deΔet de C. p b.Pour toutm>2, on appelle A et B les points d’intersection deΔet de C. Soit I le milieu du segment [AB]. Montrer que, quandm2 ;décrit l’intervalle ]+∞[, I décrit une partiee, 3 que l’on précisera, de la droite D d’équationx=y. 2 3.On construit une suite de points (A n ) dela façon suivante : n∈N A 0 est le point deCd’abscisse 2 ; pour toutn > 0, à partir du pointA n deC, on détermineB n , deuxième point ′ d’intersection deCavec la parallèle àx xpassant parA n , puisI n , milieu du segment [A n B n ] ; A n+1 est alors le point deCde même abscisse queI n . [On admet, et . n’est donc pas demandé de le démontrer, que le procédé décrit , cidessus définit bien la suite (A) . n n ∈N Placer sur la figure les pointsA 0 ,B 0 ,I 0 ,A 1 ,B 1 ,I 1 . On appellex n l’abscisse deA n . Montrer que pour toutn > 0, µ ¶ 1 3 x n+1 =x n +;x 0 =2 2 2x n (On utilisera la question 2. b.)

II.Cette deuxième partie est consacrée à l’étude de la suite ( x n ) définie à la fin de n∈N la partie précédente.

1.Montrer que, pour toutn > 0,x n est défini et strictement positif. ³ ´ 2 q 3 x n − 3 2 2.Montrer que, pour toutn > 0,x n+1 − =. 2 2x n q 3 3.En déduire que, pour toutn > 0,x n > et ensuite que : 2 Ã ! r r 2 3 3 0 6 x n+1 − 6 x n − 2 2 4.Montrer, à l’aide des questions précédentes, que pour toutn > 0 : Ã ! r r 3 3 (2n) 0 6 x n − 6 x 0 −) . 2 2 ¡ pour démontrer la deuxième inégalité de cette double inégalité, on procèdera par récurrence et l’on pourra poser, pour simplifier, pour toutn > 0, ´ 3 u n =x n −. 2 ³ ´ ³ q ´ (2 ) n 3 n (2 )lnx 0 − 3 2 5.En utilisant l’égalitéx 0 − =e ,montrer que la suite (x n ) n∈N 2 converge et déterminer sa limite.

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Le baccalauréat de 1988

A. P. M. E. P.

III.Calcul sur machine En utilisant toute la précision de la calculatrice, présenter dans un tableau les va leurs décimales approchées des six premiers teet de rmes de la suite (x n ) n∈N s six premiers termes de la suite (x−ℓ) / n n ∈N [La définieà la fin de la partie 1 du problème et on a poséℓ= suite (x n ) n∈N a été limx n .] n→+∞

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