Baccalauréat C La Réunion juin

Description

Niveau: Secondaire, Lycée
[ Baccalauréat C La Réunion juin 1998 \ EXERCICE 1 4 POINTS Les réponses seront données sous forme de fractions. Pour un examen, dix examinateurs ont préparé chacun 2 sujets. On dispose donc de vingt sujets que l'on place dans 20 enveloppes identiques. Deux candidats se pré- sentent : chacun choisit au hasard deux sujets ; de plus, les sujets choisis par le pre- mier candidat ne seront plus disponibles pour le deuxième. On note A1 l'évènement : « les deux sujets obtenus par le premier candidat pro- viennent du même examinateur » et A2 l'évènement « les deux sujets obtenus par le deuxième candidat proviennent du même examinateur ». On note A l'évènement contraire de l'évènement A. 1. Montrer que la probabilité de l'évènement A1 est égale à 119 . 2. a. Calculer directement la probabilité conditionnelle p (A2/A1) de l'évène- ment A2 sachant que A1 est réalisé. b. Montrer que la probabilité que les deux candidats obtiennent chacun deux sujets provenant d'un même examinateur est égale à 1323 . 3. a. Calculer la probabilité p ( A2/A1 ) . b. En remarquant que A2 = (A2? A1)? ( A2? A1 ) , calculer la probabilité p (A2) puis en déduire que p (A2? A1)= 33323 .

• coef- ficient directeur


• tangente


• probabilité


• variable aléatoire


• loi de la probabilité de la variable aléatoire


• solution unique


• unique point

Sujets

• Tangente
• Probabilité
• Variable aléatoire

Informations

• Publié par: apmep
• Publié le: 01 juin 1998
• Nombre de lectures: 59
• Langue: Français

Extrait

[Baccalauréat C La Réunion juin 1998\

E X E R C IC E 1 4 P O IN TS Les réponses seront données sous forme de fractions. Pour un examen, dix examinateurs ont préparé chacun 2 sujets. On dispose donc de vingt sujets que l’on place dans 20 enveloppes identiques. Deux candidats se pré sentent : chacun choisit au hasard deux sujets ; de plus, les sujets choisis par le pre mier candidat ne seront plus disponibles pour le deuxième. On noteA 1 les deux sujets obtenus par le premier candidat prol’évènement : « viennent du même examinateur » etA 2 les deux sujets obtenus parl’évènement « le deuxième candidat proviennent du même examinateur ». On noteAl’évènement contraire de l’évènementA. 1 1.Montrer que la probabilité de l’évènementA 1 .est égale à 19 2. a.Calculer directement la probabilité conditionnellep ( A 2 /A 1 ) de l’évène mentA 2 sachant queA 1 est réalisé. b.t chacunMontrer que la probabilité que les deux candidats obtiennen 1 deux sujets provenant d’un même examinateur est égale à. 323 ³ ´ 3. a.Calculer la probabilitép A 2 /A 1 . ³ ´ b.En remarquant queA 2 = ( A 2 ∩A 1 ) ∪A 2 ∩A 1 , calculer la probabilité 33 p ( A 2 ) puis en déduire quep ( A 2 ∪A 1 ) =. 323 4.SoitXoisi chala variable aléatoire égale au nombre de candidats qui ont ch cun deux sujets provenant d’un même examinateur. La variable aléatoireX prend donc les valeurs 0, 1 ou 2. a.Déterminer la loi de la probabilité de la variable aléatoireX. b.Calculer l’espérance mathématique de la variable aléatoireX.

E X E R C IC E 2 5 P O IN TS Enseignement obligatoire ³ ´ −→−→ −→ Dans l’espace muni d’un repère orthonormal directO,ı,,k, on donne A, B et C de coordonnées respectives (2 ; 0 ; 1), (3 ;−2 ; 0) et (2 ; 8 ;−4). Aucune figure n’est demandée.

1.Un pointMétant de coordonnées (x;y;z), exprimer en fonction dex,yetz −−→−−→ les coordonnées du produit vectoriel AM∧BM. 2.Résoudre le système :  −x+y−2z= −4  −x−y−z= −11  2x+y−z=8

On fera figurer les étapes de la résolution sur la copie. −−→ −−→−−→ 3.Montrer qu’il existe un unique pointNvérifiant AN∧BN=CNet donner les coordonnées du pointN. 1 4.muleOn rappelle que le volume d’un tétraèdre s’obtient par la forV=B×h 3 oùBreprésente l’aire d’une base ethla hauteur correspondante.

Le baccalauréat de 1998

A. P. M. E. P.

a.Le pointNétant défini à la question précédente, montrer que le volume 1 2 du tétraèdre ABCNest égal àCN. 6 b.En utilisant les résultats du 1., et en prenantM= C, calculer l’aire du triangle ABC. c.Utiliser les résultats précédents pour calculer la distance du pointNau plan (ABC).

E X E R C IC E 2 5 P O IN TS Enseignement de spécialité ³ ´ −→−→ Dans le plan orienté rapporté au repère orthonormal directO,ı,(unité : le cm), on trace le cercle (C) de diamètre [AO] où A est le point de coordonnées (−0) ;6 ; on appelleΩle centre de (C). Si P est un point de (C), on note K le projeté orthogonal de P sur la droite (AO) et M −−→−→ le point défini par KM=AP . ³ ´ −−→−→ Soittune mesure en radians de l’angleΩO ,ΩP . On veut déterminer l’ensemble (E) des points M de paramètretobtenu lorsque P décrit (C).

1.Sur une figure qui sera complétée à la question 5, représenter (C), placer un point P et les points K et M correspondants. 2. a.Exprimer en fonction detles coordonnées du point P puis celles du point M. b.En déduire une représentation paramétrique de (E). ′ c.Soit Mle point de (E) de paramètreπ−t. Par quelle transformation peut ′ on obtenir le point Mà partir du point M de paramètret? ³ ´ π −−→ 3.Soit N le point (E) de paramètret+. Montrer que le vecteurunON est 2 vecteur directeur de la tangente à (E) au point M de paramètret. 4.Dessin de (E) : a.Dresser le tableau des variations conjointes des coordonnées de M pour h i π tappartenant à0 ;. 2 b.Construire les points M 1 M 2 et M 3 obtenus pour les valeurs detsui π π π vantes :, ,et utiliser le résultat des questions 3 et 4 et pour construire 6 4 3 trois autres points de (E) ainsi que les tangentes à (E) en M 1 , M 2 et M 3 . c.Achever le dessin de (E). N. B.La question 5. a. a été transformée (elle demandait d’indiquer la nature de (E) et de placer les sommets de (E)) afin de tenir compte des modifica tions de programme. Par ailleurs, cet exercice peut être traité désormais dans le cadre de l’enseignement obligatoire.

P R O B L È M E Soitfla fonction définie surRpar

11 P O IN TS

x2 f(x)=e−x ³ ´ −→−→ dont la courbe représentativeC f O,dans un repère orthonormalı,, est don née sur le graphique cidessous à compléter et à rendre avec la copie.

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Le baccalauréat de 1998

C f

y

1

O x 1

A. P. M. E. P.

x f(x) e On considère la fonctiongdéfinie sur l’intervalle ]0 ;+∞[ parg(x)−= =x x x et on noteC g sa courbe représentative dans le même repère.

Partie A : Remarques préliminaires concernant la fonctionf

1.Sans chercher à déterminer son équation, tracer la tangente àC f passant par O. On notera A son point de contact avecC f . Évaluer graphiquement le coef ficient directeur de cette tangente en expliquant le procédé utilisé. Z 2 2.Calculer la valeur exacte de l’intégraleI=f(x) dx, puis en donner une va 1 −2 leur approchée à 10près. 7 2 3.En déduire une interprétation graphique du nombre réel : e−e−. 3

Partie B : Étude de la fonctiong

1.Étudier les limites degen+∞et en 0 et justifier queC g admet une asymptote. ′x2 2. a.Calculer la dérivéeg(x) et montrer qu’elle est du signe de (x−1)e−x sur l’intervalle ]0 ;+∞[. b.Soitula fonction qui à toutxde l’intervalle [0 ;+∞[ associe x2 u(x)=(x−1)e−x. Étudier le sens de variation deusur l’intervalle [0 ;+∞[. c.Déterminer le signe deu(x) sur l’intervalle [0 ; 1[. d.Montrer que l’équationu(x)=0 admet une solution uniqueasur l’inter valle [1 ; 2]. En déduire, suivant les valeurs dex, le signe deu(x) sur l’intervalle [0 ;+∞[. ′ e.En déduire le signe deg(x) et dresser la tableau de variation deg.

Partie C : Construction deC g

1.On se propose de construire le pointS(a;g(a)) oùaest le réel déterminé dans la question B. 2. d.

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Le baccalauréat de 1998

A. P. M. E. P.

f(x) ′ ′ a.Montrer que, sur l’intervalle ]0 ;+∞[,g(x)=0 équivaut àf(x)= x f(a) ′ et que par conséquentf(a)=. a b.En utilisant ce résultat, établir queaest l’abscisse du point A défini dans la première partie. ′ c.Justifier que l’ordonnée deSestf(a) et placerSsur le dessin. 2.Déterminer les coordonnées du point d’intersection deC f etC g . 3.Construire la courbeC g .

Partie D : Étude d’une primitive deget calcul d’une intégrale SoitGla primitive degsur l’intervalle [1 ; 2] qui s’annule pourx=1 (on ne cherchera pas à calculer cette primitive). 1.Déterminer le sens de variation deGsur [1 ; 2]. 2.Donner une interprétation géométrique du nombreG(2). Dans la suite, on −2 prendra 1,55 comme valeur approchée deG(2) à 10près. Z 2 3.On considère l’intégraleJ=G(x) dx. 1 a.Justifier que l’intégraleIcalculée dans la première partie peut s’écrire Z 2 I=x g(x) dx. 1 b.En utilisant une intégration par parties, établir queI=2G(2)−Jet en −2 déduire une valeur approchée deJ, à 10près.

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