Baccalauréat C La Réunion septembre

Description

Niveau: Secondaire, Lycée
[ Baccalauréat C La Réunion \septembre 1983 EXERCICE 1 1. Montrer que, pour tout réel x positif, on a x? x 2 2 6 ln(1+ x)6 x (où lnx représente le logarithme népérien de x). 2. En déduire la limite de la suite (un )n?N de terme général un = ( 1+ 1 n2 )( 1+ 2 n2 ) · · · ( 1+ n?1 n2 ) ( 1+ n n2 ) . On admettra que n ∑ k=1 k2 = n(n+1)(2n+1)6 . EXERCICE 2 Dans C, le corps des nombres complexes, on considère l'équation : (E )z3? (5+11i)z2+ (16i?4)z+12?28i = 0. 1. Vérifier que (E) admet une racine imaginaire pure z0. Après avoir écrit le pre- mier membre de (E) sous la forme (z? z0) ( z2+?z+? ) , où ? et ? sont des nombres complexes à déterminer, résoudre (E). On notera z1 et z2 les solutions de (E) distinctes de z0, avec |z1| < |z2|. 2.

• repère orthonormé direct


• courbes avec le demi-plan


• représentation graphique de f?


• image de l'intérieur du triangle abc


• courbe c?

Informations

• Publié par: apmep
• Publié le: 01 septembre 1983
• Nombre de lectures: 32
• Langue: Français

Extrait

[Baccalauréat C La Réunion\ septembre 1983

E X E R C IC E 1 1.Montrer que, pour tout réelxpositif, on a 2 x x− 6 ln(1+x) 6 x 2 (où lnxreprésente le logarithme népérien dex). e la suitee terme général 2. ( En déduire la limite du n ) n∈N d µ ¶µ ¶µ ¶ ³ ´ 1 2n−1n u n =1+1∙ ∙+ ∙1+1+. 2 22 2 n nn n n X n(n+1)(2n+1) 2 On admettra quek=. 6 k=1

E X E R C IC E 2 DansC, le corps des nombres complexes, on considère l’équation :

3 2 (E)z−(5+11i)z+(16i−4)z+12−28i=0. 1.Vérifier que (E) admet une racine imaginaire purez 0 . Après avoir écrit le pre mier membre de (E) sous la forme ¡ ¢ 2 ( z−z 0 ) z+αz+β, oùαetβsont des nombres complexes à déterminer, résoudre (E). On noteraz 1 etz 2 les solutions de (E) distinctes dez 0 , avec | z 1 | < | z 2 | . ³ ´ −→−→ 2.Soit P un plan orienté, rapporté à un repère orthonormé direct O,u,v. On considèreΩle point d’affixe 2i. On appelleM 1 etM 2 les points d’affixes respectifsz 1 etz 2 . Montrer qu’il existe une unique similitude directe de P, notéeS, de centreΩet telle queS ( M 1 ) =M 2 . Déterminer ses éléments caractéristiques.

P R O B L È M E ⋆ ⋆ Suivant l’usage,RetRdésignent respectivement l’ensemble des nombres réels + non nuls, et l’ensemble des nombres réels strictement positifs. Soit P un plan rap ³ ´ −→−→ porté à un repère orthonormalO,ı,. Préliminaire ⋆ ⋆ ,b)∈R×Rn associe l’applicatio À tout couple (a + n, oϕ a,b de P dans P qui, à ′ tout pointMde coordonnées (x;y), fait correspondre le pointMde coordonnées ¡ ¢ ′ ′ x;ytel que ½ ′ x=a x ′ y=b y. ⋆ ⋆ 1. a.Soit (a,b)∈R×R. Montrer que l’on a +

ϕ=ϕ◦ϕ=ϕ◦ϕ. a, b a, 1 1,b1, b a, 1 Préciser la nature deϕ a, 1 et deϕ 1,b .

Le baccalauréat de 1984

A. P. M. E. P.

b.SoitMle point de coordonnées (1 ; 2) ; choisissanta=2 etb=3, on pose ′ ′ m=ϕ 2, 1 (M) etM=ϕ 1, 3 (m), doncM=ϕ 2, 3 (M). ′ Dessiner les pointsM,metM. c.Déterminer suivant les valeurs deal’ensemble des droites du plan P in variantes parϕ a, 2 (c’estàdire les droitesΔtelles queϕ a, 2 (Δ)=Δ).

Partie A On considère les applications numériques deRdansR

λ f r acmx f λ,m :x7−→e , 2 x λetmétant des paramètres,λ∈]0 ;+∞[ etm∈R. On noteC λ,m la représentation graphique def λ,m dans P.

1.Étudierf 1, 0 et dessinerC 1, 0 . 2.Étudier les variations def 1, 1 . Calculer les limites def 1, 1 aux bornes de son en µ semble de définitionpour calculer la limite def 1, 1 (x)quandxtend vers0par valeurs inférieures on pourra p f 1, 1 (x) Calculer la limite dequandxtend vers 0 par valeurs inférieures; que x déduiton de ce dernier résultat ? TracerC 1, 1 . ⋆ ⋆⋆ ⋆ 3. a.Montrer que, quel que soit (λ,m)∈R×R, il existe (a,b)∈R×Rtel + + queC=ϕ(C). λ,m a,b 1, 1 ⋆ b.Pour toutλ>0 montrer qu’il existeb∈Rtel que +

C 1, 0 )=ϕ 1,b (C 1, 0 ). ⋆ ⋆ 4.Soit (λ,m)∈R×R. Trouver une primitive def λ,m sur ]0 ;+∞[. + Partie B Les notations des parties précédentes sont conservées. Soit P 1 l’ensemble des points Mdu plan P dont les coordonnées (x;y) vérifientx6=0, et soit P 2 l’ensemble des pointsMdont les coordonnées vérifient :x6=0 ety>0. ¡ ¢ ′ ′′ À tout pointM(x;y) de P on associe le pointMdont les coordonnéesx;ysont données par :  1  ′  x= x  ′2x  y=xe

1.Montrer qu’on définit ainsi une bijection de P 1 sur P 2 ; dans la suite, cette bi jection sera notéeT. −1 Déterminer l’application réciproqueT. Dans tout ce qui suit, si E est une partie du plan P, l’image de E∩P 1 parTsera appelée (abusivement) : image de E parT. 2.Déterminer l’image parTde la droite d’équationx=k(k6=0). 2 3. a.Soit (α,β)∈Ret D α,β la droite d’équationy=αx+β. Montrer qu’il existeλ∈]0 ;+∞[ etm∈Rtels queC λ,m soit l’image de D α,β parT. b.Réciproquement, toute courbeC λ,m estelle l’image parTd’une droite D α,β ?

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Le baccalauréat de 1984

A. P. M. E. P.

4.On considère les points, donnés par leurs coordonnées : µ ¶ 1 A(1 ; 1),B ;0 etC(1 ; 0). 2 ′ ′ a.et CDéterminer les images A, Bde ces points parT. b.Quelles sont les courbesC λ,m images parTdes droites (AB), (BC) et quelle est l’image de la droite (AC) ? Sur un même graphique représenter l’intersection de ces courbes avec le demiplan constitué par les points d’abscisses strictement positive. c.Préciser, sur le graphique, l’image de l’intérieur du triangle ABC et déter miner l’aire de cette image.

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