Baccalauréat C Lille 1 septembre 1986

Description

Niveau: Secondaire, Lycée
Durée : 4 heures [ Baccalauréat C Lille 1 septembre 1986 \ EXERCICE 1 4 points 1. Résoudre dans l'ensemble C des nombres complexes, l'équation : z3? (1? i)z2? (2?2i)z+8= 0 sachant qu'elle admet une solution réelle a. On notera b et c les deux autres solutions. 2. Soient A, B, C les images respectives, dans le plan rapporté à un repère ortho- normé ( O, ??e1 , ??e2 ) , des nombres complexes a, b, c. Montrer que le triangle ABC est rectangle et isocèle. EXERCICE 2 5 points On considère les suites de réels (un )n?N définies sur N et vérifiant les deux hypo- thèses : (1) (un )n?N est une suite à termes strictement positifs, (2) pour tout n deN, un+1 > un 1+un . 1. Démontrer que la suite (vn)n?N, définie sur N par vn = 1 n+1 converge verszéro et vérifie les deux hypothèses précédentes. 2. a. Soit ? la fonction définie sur R+ par : ?(x)= x1+ x . Étudier le sens de variation de ?. b. En remarquant que l'hypothèse (2) se traduit par : Pour tout n ?N, un+1 >? (un ) démontrer par récurrence que : Pour tout n ?N, un > u01+nu0 .

• réel


• solution réelle


• réelle positive


• equation cartésienne


• i2 sur l'axe des abscisses


• axe des abscisses


• repère ortho

Sujets

• Équation cartésienne

Informations

• Publié par: apmep
• Publié le: 01 septembre 1986
• Nombre de lectures: 33
• Langue: Français

Extrait

Durée : 4 heures

1 [Baccalauréat C Lilleseptembre 1986\

E X E R C IC E 1

1.Résoudre dans l’ensembleCdes nombres complexes, l’équation :

3 2 z−(1−i)z−(2−2i)z+8=0

4 points

sachant qu’elle admet une solution réellea. On noterabetcles deux autres solutions. 2.Soient A, B, C les images respectives, dans le plan rapporté à un repère ortho ³ ´ −→−→ normé O,e 1 ,e 2 , des nombres complexesa,b,c. Montrer que le triangle ABC est rectangle et isocèle.

E X E R C IC E 2 5points défi xhypo On considère les suites de réels (u n ) n∈N nies surNet vérifiant les deu thèses : (1) (u n ) estune suite à termes strictement positifs, n∈N u n (2) pour toutndeN,u n+1 > . 1+u n 1 1.Démontrer que la suite (v n définie sur) ,Nparv n =converge vers n∈N n+1 zéro et vérifie les deux hypothèses précédentes. 2. a.Soitϕla fonction définie surR + par : x ϕ(x)=. 1+x Étudier le sens de variation deϕ. b.En remarquant que l’hypothèse (2) se traduit par :

Pour toutn∈N,u n+1 > ϕ ( u n ) démontrer par récurrence que : u 0 Pour toutn∈N,u n > . 1+nu 0 3.On rappelle queu 0 est un réel strictement positif. Z n+1 u 0 a.dSans calculer l’intégralex, démontrer que : n 1+xu 0 Z n+1 u 0 u 0 Pour toutn∈N, > dx. 1+nu 0 n 1+xu 0 Z n+1 u 0 b.CalculerI n =dx. n 1+xu 0 n X c.CalculerI 0 +I 1 + ∙ ∙ ∙ +I n , c’estàdireI k . k=0 1.

Baccalauréat C

A. P. M. E. P.

à ! n ¡ ¢ X 4. a.limMontrer queu 0 +u 1 + ∙ ∙ ∙ +u ,,n = +∞limc’estàdire :I k = n→+∞n→+∞ k=0 +∞. b.Étudier la limite quandntend vers+∞de : n X 1 11 1 1++ +∙ ∙ ∙ +c’estàdire de. 2n n+1k+1 k=0

P R O B L È M E 11 points ³ ´³ ´ −→ −→−→ Dans tout le problème, le plan est rapporté au repère orthonorméO,ı,. O,ı ³ ´ −→ est l’axe des abscisses etO,l’axe des ordonnées. 2 On note A le point de coordonnées (−1 ; 0) et (Γ) la parabole d’équationy=x. Partie A 1.Soit B le point de coordonnées (−1 ;+1) et H, K, deux points de l’axe des abs cisses. Démontrer l’équivalence : −→−→ BH∙BK=0⇐⇒ −BH∙AK= −1.

2.Soit un réelaet soit (D) la droite passant par A et de coefficient directeura. a.Former une équation cartésienne de (D) et discuter, suivant la valeur de a, le nombre de points communs à (D) et (Γ). b.On suppose a tel que (D) coupe (Γ) en deux pointsM 1 etM 2 . On pro jette orthogonalementM 1 etM 2 respectivement enI 1 etI 2 sur l’axe des abscisses. Démontrer que

AI 1 ∙AI 1 =1. 3.Soit M un point de (Γ), distinct de O. On projette orthogonalement M en I sur l’axe des abscisses et en J sur l’axe des ordonnées. Démontrer que la droite passant par I et orthogonale à (IJ) coupe l’axe des ordonnées en un point fixe Q (indépendant de la position de M sur (Γ). 4.Soit, sur l’axe des abscisses, un point I dont l’abscisse est distincte de 0 et−1. e a.Déduire de la 3question une construction géométrique du point M de (Γ) situé sur la perpendiculaire en I à l’axe des abscisses. b.e de l’inDéduire ensuite du 1. et du 2. b. une construction géométriqu ′ tersection Mde (Γ) avec la droite (AM). Partie B 1.Soit (C) la courbe représentative de la fonctionfdéfinie surR + par : ³p ´ 2 f(x)=x4+x−2 . Étudier les variations defet construire (C). Calculer l’aire du domaine dé limité par la courbe (C) et les droites d’équations cartésiennes respectives : y= −2x,x=0,x=1. 2.Soitaient direcun réel positif et soit (D) la droite passant par A et de coeffic teura. ¡ ¢ La droite (D) et la parabole (Γ) ont en commun les pointsM 1 x 1 ;y 1 et ¡ ¢ M 2 x 2 ;y 2 . On supposex 1 6 x 2 . −→−−−−→ Soit P le point tel que AP=M 1 M 2 .

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Baccalauréat C

Lille

A. P. M. E. P.

a.Calculer les coordonnées (x;y) de P en fonction dea. Montrer quey=f(x+1) oùfest la fonction définie au 1. b.Soit (E) la courbe décrite par P lorsque le réeladécritR + . Montrer que (E) se déduit de (C) grâce à une transformation simple que l’on préci sera.

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