Baccalauréat C Lille juin

Description

Niveau: Secondaire, Lycée
[ Baccalauréat C Lille juin 1984 \ EXERCICE 1 4 POINTS Soit, dans le plan affine euclidien P , un carré ABCD, de côté de longueur c, où c ?R?+. On considère un réel ? et f? l'application du plan dans lui-même f? : P ? P M 7??M ? tel que ????? MM ? =????MA +???MB +???MC +?????MD . 1. Déterminer, suivant les valeurs de?, la nature et les éléments caractéristiques de f?. 2. Déterminer, puis construire l'ensemble E1 des points M du plan P tels que : MA2+MB2+MC2+MD2 = 4c2. 3. Déterminer, puis construire l'ensemble E2 des points M du plan P tels que : (??? MA ????MB ????MC +????MD ? ? ?= ? ? ? ??? MA +???MB +???MC +????MD ? ? ? 4. Déterminer, puis construire l'ensemble E3 des points M du plan P tels que : (??? MA ????MB ????MC +????MD ) · (??? MA +???MB +???MC +????MD ) = 2c2. EXERCICE 2 4 POINTS Dans l'ensemble C des nombres complexes, on considère l'équation : 2z3? (7+2i)z2+ (11+ i)z?4= 0.

• ?x ?r


• ?n ?n


• réels ?


• image de la racine réelle


• raisonnement par récurrence

Sujets

• Raisonnement par récurrence

Informations

• Publié par: apmep
• Publié le: 01 juin 1984
• Nombre de lectures: 59
• Langue: Français

Extrait

[Baccalauréat C Lille juin 1984\

E X E R C IC E 1 4 P O IN TS ⋆ Soit, dans le plan affine euclidienP, un carré ABCD, de côté de longueurc, oùc∈R. + On considère un réelαetf α l’application du plan dans luimême f α :P→P ′ M−7→M tel que −−−→ −−→−−→−−→−−→ ′ M M=αMA+MB+MC+αMD . 1.Déterminer, suivant les valeurs deα, la nature et les éléments caractéristiques def α . 2.Déterminer, puis construire l’ensembleE 1 des pointsMdu planPtels que : 2 2 22 MA2+MB+MC+MD=4c.

3.Déterminer, puis construire l’ensembleE 2 des pointsMdu planPtels que : ³ −−→−−→−−→−−→−−→−→−−→−−−→ MA−MB−MC+MD ° = ° MA+MB+MC+MD °

4.Déterminer, puis construire l’ensembleE 3 des pointsMdu planPtels que : ³ ´³ ´ −−→−−→−−→−→−−−−→−−→−→−−→ 2 MA−MB−MC+MD∙MA+MB+MC+MD=2c.

E X E R C IC E 2 4 P O IN TS Dans l’ensembleCdes nombres complexes, on considère l’équation :

3 2 2z−(7+2i)z+(11+i)z−4=0. (E) 1.Montrer que cette équation admet une solution réelle uniqueα; la détermi ner. 2.té à un repère orRésoudre l’équation (E) et représenter, dans le plan rappor thonormal direct, les images A, B, C des solutions. A désigne l’image de la racine réelle et C l’image de la racine qui a le plus grand module. 3.I étant le point du plan d’affixe i, montrer qu’il existe une similitude de centre I qui transforme A en C. Donner les éléments caractéristiques de cette similitude.

P R O B L È M E

Partie A Soitfla fonctionfdéfinie par :

12 P O IN TS

⋆−x ∀x∈R,f(x)=e lnx. + ′ 1.Déterminer la fonction dérivée defet vérifier quef(x) a même signe que 1 g(x)= −lnx+. x

Le baccalauréat de 1984

A. P. M. E. P.

2.Étudier les variations de la fonctiong, et en déduire que l’équationg(x)=0 3 admet une solution unique, notéeα, comprise entreet 2. Quel est le signe 2 deg(x) sur l’intervalle ]α;+∞[ ? −α e 3 3.Vérifier l’égalité :f(α)=et déduire, de l’inégalité<α<2, un encadre α2 ment def(α). 4.Achever l’étude de la fonctionfet tracer sa représentation graphique dans un ³ ´ −→−→ repère O,ı,.

Partie B Recherche d’une valeur approchée deα

1.Montrer que l’équationg(x)=0 est équivalente à l’équationh(x)=x, oùhest définie par

1 ⋆ ∀x∈R,h(x)=e . x + ′ 2.Calculerh(x) et vérifier que · ¸ 3 41 2 1 ′ 3 2 ∀x∈,; 2−e 6 h(x) 6 −e . 2 94 En déduire qu’il existe un réelk∈]0 ; 1[ tel que · ¸ 3 ′ ¯ ¯ ∀x∈,; 2h(x) 6 k. 2 3 3.Prouver que, pour tout couple de réels distinctsxetyet 2,compris entre 2 |h(x)−h(y)| 6 k|x−y|. 4.Soitula suite définie par son premier termeu 0 =2 et la relation de récurrence ∀n∈N,u n+1 =h ( u n )∙ a.Montrer que · ¸ 3 ∀n∈N,u n ∈; 2 2 b.En appliquant au couple (u n ;α) l’inégalité du 3., prouver que

∀n∈N, | u n+1 −α | 6 | u n −α | , c.En déduire, par un raisonnement par récurrence, l’inégalité

n ∀n∈N, | u n −α | 6 k | u 0 −α | , et montrer que la suiteuconverge versα. 5.Montrer, en utilisant les variations dehqueu n+1 −αetu n −αsont de signes contraires, en déduire queαest compris entre les nombresu n etu n+1 . −2 En justifiant votre méthode, donner une valeur approchée deαprès.à 10 Partie C On se propose de déterminer toutes les fonctions définies et dérivables deux fois sur ⋆ R, solutions de l’équation différentielle + x−1 ′′ ′−x (E) :y+3y+2y=e . 2 x 1.Vérifier que la fonctionfdéfinie en A est solution de cette équation.

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Le baccalauréat de 1984

2.Résoudre l’équation différentielle

A. P. M. E. P.

′ ′′′ (E ) :y+3y+2y=0. ⋆ 3.Soitgune fonction dérivable deux fois surR. Montrer quegest solution de + ′ (E) si, et seulement si,g−fest solution de (E ). 4.En déduire toutes les solutions de l’équation (E). N.B. : On notera lnxle logarithme népérien dex. La partie C est indépendante des deux autres parties.

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