Baccalauréat C Lille juin

Description

Niveau: Secondaire, Lycée
[ Baccalauréat C Lille juin 1988 \ EXERCICE 1 4 POINTS On donne dans le plan un pointO et une droite (∆) ne passant pas parO. On sepropose dedonner une constructionde l'intersectiond'unedroite (D) passant parO et non perpendiculaire à (∆) avec l'ellipse (E ) d'excentricité 12 , de foyerO et de directrice associée (∆). On note ??i un vecteur unitaire orthogonal à (∆) et ??j un vecteur unitaire de (D). 1. Pour tout point M de (D), on définit deux points H et H ? tels que????MH et????MH ? soient orthogonaux à (∆) et de norme égale à 2.MO. Montrer que lorsque M décrit (D), H et H ? décrivent deux droites (D1) et (D2) passant parO, dont on précisera un vecteur directeur en fonction de ??i et ??j . 2. L'une des deux droites (D1) et (D2) peut-elle être parallèle à (∆) ? 3. Utiliser les questions précédentes pour construire l'intersection de l'ellipse (E ) et de la droite (D). Faire une figure soignée dans laquelle on prendra 4 cm pour la distance de O à (∆) et pi2 pour mesure de l'angle (?? ı , ??? ) . Il n'est pas demandé de construire l'ellipse (E ).

• tion de ?


• vecteur unitaire orthogonal


• ?????hm ?


• équation de la tangente eno


• f?


• équation g2


• vecteurs unitaires


• losange aibi ?

Informations

• Publié par: apmep
• Publié le: 01 juin 1988
• Nombre de lectures: 26
• Langue: Français

Extrait

[Baccalauréat C Lille juin 1988\

E X E R C IC E 1 4 P O IN TS On donne dans le plan un pointOet une droite (Δ) ne passant pas parO. On se propose de donner une construction de l’intersection d’une droite (D) passant 1 parOet non perpendiculaire à (Δ) avec l’ellipse (E, de foyer) d’excentricitéOet de 2 directrice associée (Δ). −→−→ On noteiun vecteur unitaire orthogonal à (Δ) etjun vecteur unitaire de (D). − −→−− →− ′ ′ 1.Pour tout pointMde (D), on définit deux pointsHetHtels queM HetM H soient orthogonaux à (Δ) et de norme égale à 2.MO. ′ Montrer que lorsqueMdécrit (D),HetHdécrivent deux droites (D 1 ) et (D 2 ) −→−→ passant parO, dont on précisera un vecteur directeur en fonction deietj. 2.L’une des deux droites (D 1 ) et (D 2 ) peutelle être parallèle à (Δ) ? 3.Utiliser les questions précédentes pour construire l’intersection de l’ellipse (E) et de la droite (D). Faire une figure soignée dans laquelle on prendra 4 cm pour la distance deO ³ ´ −→−→ π à (Δpour mesure de l’angle) etı,. Il n’est pas demandé de construire 2 l’ellipse (E).

E X E R C IC E 2 4 P O IN TS ′ On considère dans le plan (P) orienté le losangeA I B I. ′ Soitrla rotation de centreAqui transformeIenI. Le but de l’exercice est de déterminer l’ensemble des pointsMdu plan tels queM,B ′ et l’imageMdeMparrsoient sur une même droite. 1.SoitCle point dont l’image parrestB. Démontrer queCest sur le cercle de centreIet de rayonI A. ′ 2.En supposantMdistinct deBet deC, démontrer queM,BetMsont alignés si, et seulement si, −−→−→−−→−→−− (C M,C A)=(B M,B A) modπ. ′ 3.En déduire que l’ensemble des pointsMtels queM,BetMsoient sur une même droite.

P R O B L È M E On désigne parf λ la fonction numérique définie surRpar :

12 P O IN TS

−λx f λ (x)=1−e , oùλest un réel strictement positif donné. On note (C λ ) la courbe représentative de la fonctionf λ dans un plan rapporté à un ³ ´ −→−→ repère orthonormalO,ı,. On définit enfin la suite numérique (u n ) n∈N paru 0 =1 et, pour tout entier naturel n:

u n+1 =f λ (u n ). A) Dans cette partie on se propose d’étudier la famille des fonctionsf λ et la famille de courbes (C λ ).

Le baccalauréat de 1988

A. P. M. E. P.

1.Étudier le sens de variations de la fonctionf λ et préciser les limites def λ en −∞et+∞. 2. a.Vérifier que la courbe (C λ ) passe par l’origineOet écrire une équation de la tangente enOà (C λ ). b.SoitMun point quelconque du plan,Hson projeté orthogonal sur l’axe −→− −−−→ ′ ′′ des ordonnées (y y) etMle point défini par la relationH M=λH M. ′ Démontrer queMappartient à la courbe (C 1 ) si et seulement siMap partient à (C λ ). c.Construire avec soin la courbe (C 1 ), en prenant 2 cm comme unité, puis la courbe (C 2 ) en appliquant le résultat du b. 3.On envisage ici l’étude de l’intersection de la courbe (C λ ) et de la droite (Δ) d’équationy=x. Pour cela, on poseg λ la fonction numérique définie surRpar :

g λ (x)=f λ (x)−x. a.Dresser le tableau de variations deg λ , en précisant les limites aux bornes. Démontrer queg λ admet un maximum absolum(λ) ; exprimer en fonc tion deλla valeur dextelle queg λ (x)=m(λ) et démontrer que

1 lnλ m(λ)=1− −. λ λ b.En remarquant queg λ (0)=0, établir quem(λ) est strictement positif si λest différent de 1. c.elles deDéduire des questions précédentes le nombre de solutions ré l’équationg λ (x)=0 et leur signe (on discutera suivant la position deλ par rapport à 1). Conclure quant à l’intersection de (C λ ) et de (Δ).

B.Dans cette partie, on fixeλ=2 et on notex 2 l’unique solution strictement positive de l’équationg 2 (x)=0 étudiée dans la partie A. On se propose la recherche des valeurs approchées dex 2 à l’aide de la suite (u n ) n∈N définie dans le préambule avecλ=2. 1.Déterminer le signe deg 2 (1) et celui deg 2 (ln 2).En déduire l’encadrement : ln 2 6 x 2 6 1. 2.Démontrer par récurrence surn, en utilisant les variations def 2 , que pour tout entier natureln, on a :

x 2 6 u n ≤1. ′ 3.Calculerfet démontrer que, si(ln 2)xest supérieur ou égal à ln2, alors : 2 1 ′ 0≤f(x) 6 . 2 2 En déduire que, pour tout entier natureln, on a :

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( u n+1 −x 2 6 −x 2 ). u n Démontrer que, pour tout entier natureln, l’inégalité : µ ¶ n 1 u n −x 2 6 . 2

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Le baccalauréat de 1988

A. P. M. E. P.

Prouver alors que la suite (u n ) n∈N converge versx 2 . Application numérique : déduire de l’étude précédente une valeur approchée −2 décimale à 10près dex 2 .

C.Dans cette partie, on fixeλ=1 et on se propose d’étudier dans ce cas la suite (u n ) n∈N définie dans le préambule. On pourra utiliser le résultat suivant :g 1 (x) est strictement négatif pour tout réelx non nul. 1.Prouver que, pour tout entier natureln, tous les termes deu n sont strictement positifs et étudier le sens des variations de la suite (u n ) n∈N . En déduire que cette suite est convergente et calculer sa limite. x 2. a.Pour tout réelxpositif, démontrer que e > x+1 et en déduire que : x f 1 (x) > . x+1 b.En déduire que pour tout entier natureln, on a : u n 1 1 u n+1 > et que 6 1+. u n +1u n+1 u n c.Établir par récurrence que, pour tout entier natureln, on a : 1 u n 6 . n+1

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