Baccalauréat C Lille juin

Description

Niveau: Secondaire, Lycée
[ Baccalauréat C Lille juin 1977 \ EXERCICE 1 4 POINTS 1. Résoudre l'équation : 3b?8a = 0 où (a ; b) ?Z2. En déduire l'ensemble des couples (a ; b) de Z2 qui sont solutions de l'équa- tion : (a ; b) ?Z2 3b?8a = 1. 2. Un entier naturel non nul A, s'écrit b0a dans le système de numération de base cinq et abc dans le système de numération de base sept. Déterminer a, b, c et donner l'expression de A dans le système decimal. N. B. 0 représente l'élément neutre de l'addition dans N. EXERCICE 2 3 POINTS On considère l'application f de C dans C qui à tout nombre complexe z, associe z ? = f (z)= 2iz+2? i, z désignant le nombre complexe conjugué de z. On désigne par F la transformation du plan complexe, qui au point M d'affixe z, fait correspondre le point M ? = F (M), d'affixe z ? = f (z). 1. La transformation F admet-elle des points invariants ? 2. Déterminer la nature de F et préciser les éléments géométriques qui la carac- térisent : centre, rapport, axe. PROBLÈME 13 POINTS Soit F l'ensemble des applications de R dans R, deux fois dérivables sur R.

• expression de hn


• transformation du plan complexe


• courbe repré- sentative


• solution de l'équa- tion

Informations

• Publié par: apmep
• Publié le: 01 juin 1977
• Nombre de lectures: 45
• Langue: Français

Extrait

[Baccalauréat C Lille juin 1977\

E X E R C IC E 1 4 P O IN TS 2 1.Résoudre l’équation : 3b−8a=(0 oùa;b)∈Z. 2 En déduire l’ensemble des couples (a;b) deZqui sont solutions de l’équa tion :

2 (a;b)∈Z3b−8a=1. 2.Un entier naturel non nulA, s’écritb0adans le système de numération de base cinq etabcdans le système de numération de base sept. Déterminera,b,cet donner l’expression deAdans le système decimal. N. B.0 représente l’élément neutre de l’addition dansN.

E X E R C IC E 2 3 P O IN TS On considère l’applicationfdeCdansCqui à tout nombre complexez, associe

′ z=f(z)=2z+2−i,

zdésignant le nombre complexe conjugué dez. On désigne parFla transformation du plan complexe, qui au pointMd’affixez, fait ′ ′ correspondre le pointM=F(M), d’affixez=f(z).

1.La transformationFadmetelle des points invariants ? 2.Déterminer la nature deFet préciser les éléments géométriques qui la carac térisent : centre, rapport, axe.

P R O B L È M E 13 P O IN TS SoitFl’ensemble des applications deRdansR, deux fois dérivables surR. On rap pelle queF, muni de l’addition des applications et de leur multiplication par un scalaire réel, a une structure d’espace vectoriel surR.

Partie A SoitEle sousensemble deFtel que : ½ ¾ 1 ′′ ′ E=f∈F,f−f+f=0 4 ′ ′′ fdésignant la fonction dérivée première def,fla fonction dérivée seconde et 0 l’application nulle deRdansR. 1.Démontrer queE, muni de l’addition des applications et de leur multiplica tion par un scalaire réel, a une structure d’espace vectoriel surR. 2. a.Démontrer que sifest élément deE, alors l’applicationgdeRdansR telle que :

−x/2 ∀x∈R,g(x)=ef(x) appartient àF, et que sa fonction dérivée seconde coïncide avec 0.

Le baccalauréat de 1977

A. P. M. E. P.

b.Réciproquement, démontrer que sigest élément deFtel que sa fonc tion dérivée seconde coincide avec 0, alors il existe un élémentfde E tel que :

−x/2 ∀x∈R,g(x)=ef(x) c.En déduire que : © ª 2x/2 E=f∈F,∃(a;b)∈R,∀x∈Rf(x)=(a x+b)e . On noteraf a,b l’élément deEtel que : x/2 ∀x∈R,f a,b (x)=(a x+b)e . ¡ ¢ 3.Démontrer quef 1, 0 ,f 0, 1 est une base deE. On la noteB. Qu’en déduiton sur la dimension deE? Sif a,b est élément deE, donner ses coordonnées dans la baseB. 4.Démontrer que sif a,b est élément deE, sa fonction dérivée première est élé ment deE. 5.On considère alors l’applicationϕdeEdansEqui à tout élémentf a,b deE ′ associef. a,b a.Vérifier queϕest un endomorphisme deEet déterminer sa matrice dans la baseB. ¡ ¢ −1 b.ϕestil un automorphisme deE? Si oui, donner l’expression deϕf a,b (x) pourf a,b élément deEet pour toutxréel. ¡ ¢ −1 Que représenteϕf a,b pourf a,b ? 6.On considère l’élémentf 1, 1 deE. Donner l’expression def 1, 1 (x) pour toutx réel, étudier le sens de variation de cette fonction et tracer sa courbe repré ³ ´ −→−→ sentative dans un plan rapporté à un repère orthonorméO,ı,. Calculer l’aireAdu domaineDdu plan tel que :

D={M(x;y), 0 6 x 6 2, 0 6 y 6 f 1, 1 (x)}, a.en utilisant le 5. b.par un calcul direct d’intégrale. Partie B ⋆ Pour toutn∈N, on considère la suite (h n ) d’éléments deEtelle que : ′ h=fet 4h=h 1 1,1 n+1 n . ′ oùhdésigne la fonction dérivée deh n+1 . n+1 On posera :

x/2 2 ∀x∈R,h n (x)= ( U n x+V n , () eU n ;V n ) ∈R. 1.ExprimerU n+1 etV n+1 en fonction deU n etV n . En déduire qu’il existe un endomorphismeψdeEtel que :

Lille

⋆ ∀n∈N,h n+1 =ψ ( h n ) Écrire la matriceAdeψdans la baseB.

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Le baccalauréat de 1977

A. P. M. E. P.

2 3 2.CalculerAetA. Démontrer que : µ ¶ 1 1 0 ⋆n ∀n∈N,A=. n 2 −2n1 ⋆ En déduire l’expression deU n et n en fonction den, pournélément deN. ⋆ Donner alors, pour tout élémentn∈N, et toutxréel, l’expression deh n (x).

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