Baccalauréat C Lille septembre

Description

Niveau: Secondaire, Lycée
[ Baccalauréat C Lille septembre 1980 \ EXERCICE 1 On considère l'anneau (Z/20Z ; + ; ?) dont on notera les éléments : 0˙ ; 1˙ ; . . . ; p˙ ; . . . ; 1˙9 ; p ? [1 ; 19]. 1. Démontrer que p est inversible dans (Z/20Z) si, et seulement si, p et 20 sont premiers entre eux. En déduire les éléments inversibles de (Z/20Z). 2. Résoudre dans (Z/20Z?Z/20Z)le système { 4˙x+ 3˙y = 1˙0 5˙x+ 6˙y = 1˙7. EXERCICE 2 On considère la fonction numérique f d'une variable réelle définie par f (x)= (x?1)Log |x?1|? xLog x (Log représente la fonction logarithmique népérien). 1. Déterminer l'ensemble de définition de f et les variations de f 2. Soit la fonction g définie par ? ? ? g (0) = 0, g (1) = 0, g (x) = f (x) ?x ?]0 ; 1[ ? ]1 ; +∞[. Démontrer que g est continue en 1 et à droite en 0. g est-elle dérivable en 1 ? à droite en 0 ? 3.

• isométrie vecto- rielle unique


• ?2??ı ?2???


• réels ?


• homothétie vecto- rielle


• loi ? de composition des applications


• homothétie vectorielle

Informations

• Publié par: apmep
• Publié le: 01 septembre 1980
• Nombre de lectures: 26
• Langue: Français

Extrait

[Baccalauréat C Lille septembre 1980\

E X E R C IC E 1 On considère l’anneau (Z/20Z;+;×) dont on notera les éléments :

˙ ˙˙ 0 ; 1 ; .. .;p ˙ ; . . .; 19;p∈[1 ; 19]. 1.Démontrer quepest inversible dans (Z/20Z) si, et seulement si,pet 20 sont premiers entre eux. En déduire les éléments inversibles de (Z/20Z). 2.Résoudre dans (Z/20Z×Z/20Z)le système ½ ˙ ˙˙ 4x+3y=10 ˙ ˙˙ 5x+6y=17.

E X E R C IC E 2 On considère la fonction numériquefd’une variable réelle définie par

f(x)=(x−1)Log|x−1| −xLogx

(Log représente la fonction logarithmique népérien). 1.Déterminer l’ensemble de définition defet les variations def 2.Soit la fonctiongdéfinie par  g(0)=0,  g(1)=0,  g(x)=f(x)∀x∈]0 ; 1[∪]1 ;+∞[. Démontrer quegest continue en 1 et à droite en 0. gestelle dérivable en 1 ? à droite en 0 ? 3.Démontrer quef(x) admet pour limite−∞lorsquextend vers+∞. On pourra remarquer que µ ¶ 1 ∀x∈]1 ;+∞[,f(x)=xLog 1− −Log(x−1). x 4.Terminer l’étude de la fonctionget représenter graphiquementgdans un ³ ´ −→−→ repère orthonorméO,ı,. (On choisira pour unité : 2 cm.) ¸ · 1 2 5.Soitλ∈. Calculer en cml’aire de l’ensemble des points; 1Mde coor 2 ³ ´ −→−→ donnéesx,ydans le repèreO,ı,, tels que 1 6 x 6 λ, 0 6 y 6 g(x). 2

P R O B L È M E

Partie A

Le baccalauréat de 1981

A. P. M. E. P.

³ ´ −→−→ −→ Eétant un espace vectoriel euclidien muni d’une base orthonorméeB=ı,,k, on désigne parSl’ensemble des automorphismesϕdeEqui conservent l’ortho gonalité », c’estàdire ³ ´³ ³´ ³´ ´ −→ −→−→−→ −→−→ ∀ϕ∈S,V,W∈E×E,V W=0⇒ϕV∙ϕW=0 .

1.Vérifier que les homothéties vectorielles et les isométries vectorielles deEap partiennent àS. ′ 2. a.Démontrer que l’image parϕde la baseBest une baseBdeEortho gonale et dont les vecteurs ont même norme. h ³´ ³´ i −→−→−→−→ On pourra utiliser des vecteurs tels queı−etı+. ³ ´ −→ On posera alors ° ϕı ° =α. ³ ´ −→ −→−→ b.Démontrer que∀V∈E, ° ϕV ° =α ° V ° . Le réelαsera appelé rapport deϕ. c.Démontrer queϕest la composée commutative d’une isométrie vecto rielle unique et de l’homothétie vectorielle de rapportα. 3.Soit un endomorphismeunon nul deEvérifiant ³ ´³ ´³ ´³ ´³ ´³ ´ −→−→−→ −→−→ −→ u ı∙u=u∙u k=u k∙u ı=0 et ³ ´³ ´³ ´ −→−→−→ ° u ı ° = ° u ° = ° u˛ ° ; montrer queuest un élément deS. Application.  Soitul’endomorphisme deEdéfini par

³ ´³ ´³ ´ −→ −→ −→ −→ −→ −→ −→ −→ −→ −→ −→ −→ u ı=ı−2−2k;u= −2ı+−2k;u k= −2ı−2+k.

Montrer queuest élément deS. Déterminer son rapport. Écrireucomme composé d’une homothétie vectorielle et d’une isométrie vectorielle que l’on précisera. 4.Montrer queSmuni de la loi◦de composition des applications est un groupe non commutatif. Partie A Soitf 1 ,f 2 ,f 3 les fonctions numériques de la variable réellexdéfinies par p 2 f 1 (x)=cos 4x,f 2 (x)=sin 4x,f 3 (x)= 2 etFl’espace vectoriel réel engendré parf 1 ,f 2 ,f 3 . 1. a.Démontrer que, pour tousgethéléments deF,g×hest intégrable sur h i π 0 ;. Calculer, pour touspetq2, 3},, éléments de {1, 2 Z π 2 f p (x)f q (x) dx. 0

Lille

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Le baccalauréat de 1981

b.Soitθl’application deF×FversRdéfinie par Z π 4 2 θ(g,h)=g(x)h(x) dx. π 0 On pose

A. P. M. E. P.

′ ′ ′ g=a f 1 +b f 2 +c f 3 eth=a f 1 +b f 2 +c f 3 . ′ ′′ Calculerθ(g,h) en fonction des réelsa,b,c,a,b,c. En déduire queθ ¡ ¢ est un produit scalaire surFet quef 1 ,f 2 ,f 3 est une base orthonormée deF. ⋆ 2. a.Pour toutnélément deNcalculer les dérivées d’ordrendes fonctions (n) (n) (n) f 1 ,f 2 ,f 3 que l’on notera respectivementf,f,f. 1 2 3 (n) En déduire que, pour toutgélément deF,gexiste. ⋆ b.Pour toutnélément deN, on considère l’applicationϕ n deFversF qui à

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(n)n g=a f 1 +b f 2 +c f 3 associeϕ n (g)=g+4c f 3 . ¡ ¢ Quelle est l’image parϕ 1 de la basef 1 ,f 2 ,f 3 ? Montrer queϕ 1 est la composée d’une homothétie vectorielle et d’une isométrie vectorielle que l’on précisera. Mêmes questions pourϕ 2 , pour ϕ 3 . Quels sont les entiers naturelsntels queϕ n soit une homothétie vecto rielle ?

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