Baccalauréat C Lille septembre

Description

Niveau: Secondaire, Lycée
[ Baccalauréat C Lille septembre 1979 \ EXERCICE 1 3 POINTS 1. Étudier, suivant les valeurs de l'entier naturel n, le reste de la division eucli- dienne par 5 de 12n . 2. Les chiffres du système de numération à base douze sont notés 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, ?, ?. Quel est le reste de la division euclidienne par 5 de l'entier naturel qui s'écrit 4?32?5 dans ce système ? EXERCICE 2 4 POINTS 1. n étant un entier naturel non nul, calculer l'intégrale : In = ∫pi 0 x cos2nx dx. 2. Linéariser sin6 x. 3. Utiliser les questions précédentes pour calculer l'intégrale : I = ∫pi 0 x sin6 x dx. PROBLÈME 13 POINTS Partie A On rappelle que l'ensemble M desmatrices carrées d'ordre deuxmuni de l'addition des matrices et de leur multiplication par les réels, possède une structure d'espace vectoriel, et que, muni en plus de la multiplication interne des matrices, il possède une structure d'anneau unitaire. On notera O= (0 0 0 0 ) et I = (1 0 0 1 ) On considère l'ensemble E des matrices A = ( a+b 2b b ?a ) où (a ; b) décrit R2.

• multiplication interne des matrices


• reste dans la division euclidienne


• structure de e1


• desmatrices carrées d'ordre deuxmuni de l'addition des matrices

Informations

• Publié par: apmep
• Publié le: 01 septembre 1979
• Nombre de lectures: 25
• Langue: Français

Extrait

[Baccalauréat C Lille septembre 1979\

E X E R C IC E 1 3 P O IN TS 1.Étudier, suivant les valeurs de l’entier natureln, le reste de la division eucli n dienne par 5 de 12. 2.1, 2, 3, 4,Les chiffres du système de numération à base douze sont notés 0, 5, 6, 7, 8, 9,α,β. Quel est le reste de la division euclidienne par 5 de l’entier naturel qui s’écrit 4β32α5 dans ce système ?

E X E R C IC E 2 1.nétant un entier naturel non nul, calculer l’intégrale : Z π I n =xcos 2n xdx. 0 6 2.Linéariser sinx. 3.Utiliser les questions précédentes pour calculer l’intégrale : Z π 6 I=xsinxdx. 0

P R O B L È M E

4 P O IN TS

13 P O IN TS

Partie A On rappelle que l’ensembleMdes matrices carrées d’ordre deux muni de l’addition des matrices et de leur multiplication par les réels, possède une structure d’espace vectoriel, et que, muni en plus de la multiplication interne des matrices, il possède une structure d’anneau unitaire. On notera µ ¶µ ¶ 0 01 0 O=etI= 0 00 1 µ ¶ a+b2b 2 On considère l’ensemble E des matricesA=où (a;b) décritR. b−a 1.Montrer que E est un sousespace vectoriel deMet qu’il admet pour base µ ¶ 1 2 (I;J), avecJ=. 1 0 2 2 2.CalculerJ, et l’exprimer à l’aide deIetJ. En déduire queJappartient à E, −1 queJest inversible, et queJappartient aussi à E. 3.Montrer que siAetBsont éléments de E, leur produitA∙Bappartient à E. Montrer que E, muni de l’addition et de la multiplication des matrices, pos sède une structure d’anneau unitaire commutatif. 4.Déterminer les éléments inversibles dans l’anneau E. On appelle E 1 l’ensemble de ces éléments. Montrer que E 1 est stable pour la multiplication. Quelle est la structure de E 1 muni de la multiplication ? 2 5.Résoudre dans E l’équation suivante oùAest l’inconnue :A=I.

Le baccalauréat de 1980

A. P. M. E. P.

Partie B ³ ´ −→−→ Le plan affine (P) est muni d’un repère cartésienO,ı,. On considère l’appli cation affinef a,b qui laisse O invariant et dont l’endomorphisme associé a pour µ ¶ ³ ´ a+b2b →−→− matriceA=dans la baseı,. Tout pointMde coordonnées (x,y) b−a ³ ´ ¡ ¢ −→−→ ′ ′′ dans le repèreO,ı,a pour imageM=f a,b (M) de coordonnéesx;y. ′ ′ 1. a.Calculerxetyà l’aide dexety;f a,b peutelle être une translation? une homothétie ? 1 b.Pour cette question on posea=0,b=. SoitM 0 le point de coordonnées 4 (1 ; 0). On pose :

∀n∈N,M n+1 =f ( M n ) . 1 0, 4 ¡ ¢ On appellex n ;y n les coordonnées deM n . On poseu n =x n −k y n (k∈R). Montrer qu’il existe deux valeurs dek ′ ′′ (notéesketkit géométrique.) telles que la suite ( u n ) ∈N so n ′ ′′ Calculerx n −k y n etx n −k y n à l’aide den. En déduirex n ety n . Calculer les limites dex n ety n quandntend vers+∞. Calculer la limite y n de quandntend vers+∞(on vérifierax n 6=0). x n On appelleG n l’isobarycentre deM 0 ,M l1 ,∙ ∙ ∙,M n . Calculer les coordon ′ nées deG n . Quelle est leur limite quandntend vers+∞? 2. a.aetbsont à nouveau quelconques. ′ Déterminer l’ensemble des pointsMtels que O,MetMsoient alignés. Montrer que, pourb6=0, cet ensemble est la réunion de deux droites D 1 −→−→−→ et D 2 sécantes en O, D 1 étant dirigée pare 1 =ı−et D 2 par −→−→−→ e 2 =2ı+. Quelle est la restriction def a,b à D 1 ? à D 2 ? ³ ´ −→−→ b.O,On prend le nouveau repèree 1 ,e 2 . Montrer que dans ce repère, l’expression analytique defest a,b ½ ′ X=(a−b)X ′ Y=(a+2b)Y. c.Pour quelles valeurs deaetb f a,b estelle involutive? Dans chaque cas trouvé indiquer la nature def a,b et préciser ses éléments caractéristiques. Partie C ³ ´ −→−→ Le plan (P) est maintenant euclidien et le repèreO,ı,est orthonormé (unité de longueur pour les graphiques : 2 cm sur chaque axe). 1.Soit la fonctiongdeRversRdéfinie par

Lille

2 4x−8x+7 g x= 4(2x−1) Étudier les variations deget tracer sa courbe représentative (C) dans le repère ³ ´ −→−→ O,ı,. Montrer qu’elle admet un centre de symétrie et une asymptote oblique ´ γ (il pourra être utile d’écrireg(x) sous la formeαx+β+. 2x−1

2

septembre 1979

Le baccalauréat de 1980

A. P. M. E. P.

2.On considère l’applicationf 1,−1 (obtenue para=1,b= −1). ′ ′ a.En posantM=f 1,−1 (M), donner une construction deMà partir deM en utilisant D 1 et D 2 . ′ ′ b.Soit (C ) l’image de (C) parf 1,−1 . Écrire l’équation de (C ) dans le repère ³ ´ −→−→ ′ O,ı,. Quelle est la nature de (C ) ?

Lille

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septembre 1979