Baccalauréat C Lille septembre

Description

Niveau: Secondaire, Lycée
[ Baccalauréat C Lille septembre 1977 \ EXERCICE 1 4 POINTS Le plan affine euclidien P est muni d'un repère orthonormé ( O, ??ı , ??? ) , et assimilé au plan complexe. Soit P? le plan P privé du point O. On considère l'application f de P? vers lui-même, qui, à tout point M d'affixe z, fait correspondre le point M ? d'affixe z ? par la relation z ? · z = a2, a étant un réel donné non nul, et z le conjugué de z. 1. Démontrer que l'application f est involutive. Quel est l'ensemble des points invariants ? 2. Démontrer que les points O, M , M ? sont alignés et que OM ·OM ? = a2. 3. Quelles sont les images a. des droites passant par O ? b. des cercles de centre O ? c. de la droite d'équation x = |a| ? EXERCICE 2 3 POINTS Pour tout entier naturel n on pose : In = ∫1 0 xn p 1? x dx. 1. Calculer I0. 2. Par une intégration par parties, calculer I1. 3. Montrer que, pour tout entier non nul n, on a la relation de récurrence : (3+2n)In = 2nIn?1.

• ?? ı


• multiplication des matrices


• associées à?s


• structure d'anneau commutatif


• noyau de ?b


• image de?b


• dé- signe par?a


• ??ı ????

Sujets

• Produit matriciel

Informations

• Publié par: apmep
• Publié le: 01 septembre 1977
• Nombre de lectures: 43
• Langue: Français

Extrait

[Baccalauréat C Lille septembre 1977\

E X E R C IC E 1 4 P O IN TS ³ ´ −→−→ Le plan affine euclidien P est muni d’un repère orthonorméO,ı,, et assimilé ⋆ au plan complexe. Soit Ple plan P privé du point O. ⋆ On considère l’applicationfde Pvers luimême, qui, à tout pointMd’affixez, fait ′ ′ correspondre le pointMd’affixezpar la relation

′2 z∙z=a, aétant un réel donné non nul, etzle conjugué dez.

1.Démontrer que l’applicationfest involutive. Quel est l’ensemble des points invariants ? ′ ′2 2.Démontrer que les points O,M,Msont alignés et que OM∙OM=a. 3.Quelles sont les images a.des droites passant par O ? b.des cercles de centre O ? c.de la droite d’équationx= |a|?

E X E R C IC E 2 3 P O IN TS Pour tout entier naturel n on pose : Z 1 p n I n =x1−xdx. 0 1.CalculerI 0 . 2.Par une intégration par parties, calculerI 1 . 3.Montrer que, pour tout entier non nuln, on a la relation de récurrence :

(3+2n)I n =2n I n−1 .

P R O B L È M E 13 P O IN TS On rappelle que l’ensemble M des matrices carrées d’ordre 2 à coefficients réels muni de l’addition et de la multiplication par un réel est un espace vectoriel sur Rtion des matriceset que ce même ensemble muni de l’addition et de la multiplica est un anneau unitaire.

Partie A Soit E l’ensemble des matrices de la formea.M+b. I où 7) et 1 = ( 1  5 0 µ ¶µ ¶ 4 71 0 M=et I= −2−5 01 etaetbsont des nombres réels arbitraires.

1.Démontrer que E est un sousespace vectoriel de M et que sa dimension est 2.

Le baccalauréat de 1978

A. P. M. E. P.

2 2.Prouver queM+M−6.I=0 où 0 désigne la matrice nulle. En déduire que la multiplication des matrices est une loi interne dans E, et que l’addition et la multiplication des matrices munissent E d’une structure d’anneau commutatif et unitaire. 3. a.Résoudre dans E l’équation

2 X=X. On trouve quatre solutions : la matrice nulle 0, la matrice unité I et deux autresAetB, que l’on exprimera en fonction deMet de I. b.Démontrer queA∙B.=B∙A=0. c.Démontrer que (A ; B) est une base de E. 4.Résoudre dans E l’équation 2 Y=1. On trouve ainsi quatre solutions : I,−I et deux autresSet−Sque l’on expri mera en fonction deMet de I. Partie B ³ ´ −→−→ Soitπun plan vectoriel euclidien, rapporté à une base orthonorméeı ı. On dé signe parΦ A ,Φ B ,Φ S ,Φ −S les endomorphismes deπ, de matrices respectivesA,B,S ³ ´ −→−→ et−Sdans la baseı,. 1.Quelle est la nature géométrique deΦ A etΦ B ? Démontrer que :

Image deΦ A =Noyau deΦ B et Image deΦ B =Noyau deΦ A Expliquer alors pourquoi le produitA∙Best nul. 2.Déduire de A 4. queΦ S etΦ −S sont involutives. Reconnaître les endomor phismesΦ S etΦ −S et préciser leurs éléments caractéristiques. Partie C ³ ´ −→−→ Soit P le plan affine euclidien associé àπ, et rapporté au repère orthonorméO,ı,. 1.Écrire les équations analytiques des applications affines associées àΦ S etΦ −S et laissant le point O invariant. On les appellef s etf −s . Les reconnaître. 2.Étudier, et représenter graphiquement dans le plan P, les variations de la fonc tion h pi 1 2 g:x→7−g(x)= −9x+5x+1 . 14 Soit (C) la courbe représentative. Montrer qu’elle admet pour asymptotes les droites d’équationx+y=0 et 2x+7y=0. 3.Soit la fonction h pi 1 2 h:x→−7h(x)= −9x−5x+1 . 14 ′ et (C) sa courbe représentative. En remarquant queh(−x)= −g(x), dites quelle est la transformation qui per ′ ′ met de passer de (C) à (C). Construire alors (C). ′ Montrer que l’équation de la courbe (Γ)=(C)∪(C) peut s’écrire :

Lille

28(2x+7y)(x+y)−25=0.

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septembre 1977

Le baccalauréat de 1978

A. P. M. E. P.

³ ´ −→−→ ′ ′ 4.Prendre le nouveau repère suivantO,ı, ( −→ −→ −→ ′ ı=ı− −→ −→−→ ′ =7ı−2 Trouver l’équation de (Γ) dans ce repère et en déduire sa nature géométrique. 5.On transforme la courbe (Γ) parf s etf −s . Montrer quef s (Γ)=f −s (Γ). ³ ´ −→−→ ′ ′′ Soit (ΓO,) la courbe obtenue. Quelle est son équation dans le repèreı,. La reconnaître et la construire.

Lille

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septembre 1977