Baccalauréat C Métropole groupe 2 1 juin 1991

Description

Niveau: Secondaire, Lycée
Durée : 4 heures [ Baccalauréat C Métropole groupe 2 1 juin 1991 \ EXERCICE 1 4 points Soit les nombres complexes z1 = p6? ip2 2 et z2 = 1? i. 1. Mettre sous forme trigonométrique z1, z2 et Z = z1z2 . 2. En déduire que : cos pi12 = p6+p2 2 et sin pi 12 = p6?p2 2 . 3. On considère l'équation d'inconnue réelle x : (p 6+ p 2 ) cosx+ (p 6? p 2 ) sinx = 2. a. Résoudre cette équation dans R. b. Placer les points images des solutions sur le cercle trigonométrique. EXERCICE 2 5 points Dans le plan orienté on considère un carré direct ABCD de centre O( c'est-à-dire tel que á (???OA , ???OB ) = pi 2 ) . Soit P un point du segment [BC] distinct de B. On note Q l'intersection de (AP) avec (CD). La perpendiculaire ∆ à (AP) passant par A coupe (BC) en R et (CD) en S. 1. Faire une figure (prendre BC = 3 cm et BP = 1 cm et placer (BC) horizontale sur la feuille). 2. Soit r la rotation de centre A et d'angle pi2 .

• solutions sur le cercle trigonométrique


• nature des triangles raq


• tangentes aux points d'abscisses res

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• Langue: Français

Extrait

Durée : 4 heures

1 [juin 1991Baccalauréat C Métropole groupe 2\

E X E R C IC E points1 4 Soit les nombres complexes p 6−i 2 z 1 =etz 2 =1−i. 2 z 1 1.Mettre sous forme trigonométriquez 1 ,z 2 etZ=. z 2 2.En déduire que : p π6+2π6−2 cos=et sin=. 12 212 2 3.On considère l’équation d’inconnue réellex: ³ ´³ ´ p pp 6+2 cosx+6−2 sinx=2. a.Résoudre cette équation dansR. b.Placer les points images des solutions sur le cercle trigonométrique.

E X E R C IC E 2 5points Dans le plan orienté on considère un carré direct ABCD de centre O µ ¶ ³ ´ −→ á −→ π c’estàdire tel queOA ,OB=. 2 Soit P un point du segment [BC] distinct de B. On note Q l’intersection de (AP) avec (CD). La perpendiculaireΔà (AP) passant par A coupe (BC) en R et (CD) en S.

1.Faire une figure (prendre BC = 3 cm et BP = 1 cm et placer (BC) horizontale sur la feuille). π 2.Soitr.la rotation de centre A et d’angle 2 a.Préciser l’image de la droite (BC) parr. b.Déterminer les images de R et P parr. c.Quelle est la nature des triangles RAQ et PAS ? 3.On note N le milieu du segment [PS] et M celui du segment [QR]. π1 Soitsla similitude directe de centre A, d’angle.et de rapport 4 2 a.Préciser les images des points R et P pars. b.Quel est le lieu géométrique du point N quand P décrit le segment [BC] privé de B ? c.és.De ce qui précède, déduire que les points M, B, N et D sont align

P R O B L È M E 11 points Le problème a pour objet 1. Bordeaux,Caen, ClermontFerrand, Limoges, Nantes, Orl éansTours, Poitiers, Rennes

Baccalauréat C

A. P. M. E. P.

•dans la partie A, d’étudier la fonctionfdéfinie sur l’intervalle [0 ; 1] par : . 2 −xlnx f(x)=six6=0 etf(0)=0, 1+x •dans la partie B, de calculer une valeur approchée de l’intégrale Z 1 J=f(t) dt. 0 A Étude et représentation graphique def ³ ´ −→−→ Dans cette partie, le plan est rapporté au repère orthogonalO,ı,(unités gra ′ ′ phiques : 10 cm surx xet 20 cm sury y). On désigne parCla représentation graphique def. I. Étude d’une fonction auxiliaire Soitula fonction définie sur ]0 ; 1] par : 1+x u(x)= +lnx. 2+x 1.Montrer que la fonctionuest strictement croissante. Donner son tableau de variations en précisant la limite en 0 et la valeur en 1. 2.En déduire que la fonctionus’annule pour un unique nombre réelβcompris entre 0 et 1. Montrer que :

0, 54<β<0, 55.

II  Étude et représentation graphique def 1. a.Étudier la limite defen 0. b.Montrer que la fonctionfest continue sur [0 ; 1]. 2. a.Étudier la dérivabilité defen 0. ′ ′ b.Calculerf(x) pourx>0 et vérifier quef(x) et−u(x) ont le même signe. 3.Donner le tableau de variations def. 4.Construire la courbeCen precisant les tangentes aux points d’abscisses res pectives 0 et 1. B La continuité defassure l’existence de l’intégrale Z 1 J=f(t) d 0 On ne cherchera pas à calculer une primitive def. I.  Étude d’une intégrale auxiliaire Soitn > 1 un entier naturel. On désigne parg n la fonction numérique définie sur [0 ; 1] par : n g n (t)= −tlntsit>0 etg n (0)=0. 1.Démontrer queg n est continue sur [0 ; 1]. 2.SoitG n la fonction définie sur [0 ; 1] par :  n+1n+1  tlnt t G n (t)+= −sit>0 2 n+1 (n+1)  G n (0)=0.

Métropole groupe 2

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Baccalauréat C

a.Montrer queG n est une primitive deg n sur [0 ; 1]. b.En déduire la valeur de l’intégrale : Z 1 J n =g n (t) dt. 0

II  Étude deJ

A. P. M. E. P.

1.Soittun nombre réel etnun entier naturel supérieur ou égal à 1. a.Calculer le produit ¡ ¢ 2n+1n−1 P n (t)=(1+t) 1−t+t+. . .+(−1)t. b.En déduire que pour tout nombre réelt6= −1, n 1t 2n+1n−1n =1−t+t+...+. . .+(−1)t+(−1) . 1+t1+t c.Montrer que pour tout nombre réelt∈[0 ; 1], n−1n g n+2 (t) f(t)=g 2 (t)−g 3 (t)+g 4 (t)−. . .+(−1)g n+1 (t)+(−1) 1+t puis que Z 1 g n+2 (t) n−1n J=J 2 −J 3 +J 4 −. . .+(−1)J n+1 +(−1) dt. 0 1+t g n+2 (t) d., démontrer queEn s’aidant une majoration de 1+t Z 1 g n+2 (t) 0 6 d. 0 1+t 2.Soitn > 1 un entier naturel. On pose : 1 11 n−1 S n = − +...+(−1) . 2 22 3 4(n+2) a.limMontrer queS n =J. n→+∞ b.Montrer queS n 6 J 6 S 9 . −3 c.En déduire une valeur approchée deJà 5∙10 près,exprimée avec trois décimales.

Métropole groupe 2

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