Baccalauréat C Métropole groupe 2 1 juin 1991
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Description

Niveau: Secondaire, Lycée
Durée : 4 heures [ Baccalauréat C Métropole groupe 2 1 juin 1991 \ EXERCICE 1 4 points Soit les nombres complexes z1 = p6? ip2 2 et z2 = 1? i. 1. Mettre sous forme trigonométrique z1, z2 et Z = z1z2 . 2. En déduire que : cos pi12 = p6+p2 2 et sin pi 12 = p6?p2 2 . 3. On considère l'équation d'inconnue réelle x : (p 6+ p 2 ) cosx+ (p 6? p 2 ) sinx = 2. a. Résoudre cette équation dans R. b. Placer les points images des solutions sur le cercle trigonométrique. EXERCICE 2 5 points Dans le plan orienté on considère un carré direct ABCD de centre O( c'est-à-dire tel que á (???OA , ???OB ) = pi 2 ) . Soit P un point du segment [BC] distinct de B. On note Q l'intersection de (AP) avec (CD). La perpendiculaire ∆ à (AP) passant par A coupe (BC) en R et (CD) en S. 1. Faire une figure (prendre BC = 3 cm et BP = 1 cm et placer (BC) horizontale sur la feuille). 2. Soit r la rotation de centre A et d'angle pi2 .

  • solutions sur le cercle trigonométrique

  • nature des triangles raq

  • tangentes aux points d'abscisses res


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Langue Français

Exrait

Durée : 4 heures
1 [juin 1991Baccalauréat C Métropole groupe 2\
EX E R C IC Epoints1 4 Soit les nombres complexes p 6i 2 z1=etz2=1i. 2 z1 1.Mettre sous forme trigonométriquez1,z2etZ=. z2 2.En déduire que : p π6+2π62 cos=et sin=. 12 212 2 3.On considère l’équation d’inconnue réellex: ³ ´³ ´ p pp 6+2 cosx+62 sinx=2. a.Résoudre cette équation dansR. b.Placer les points images des solutions sur le cercle trigonométrique.
EX E R C IC E2 5points Dans le plan orienté on considère un carré direct ABCD de centre O µ ¶ ³ ´ áπ c’estàdire tel queOA ,OB=. 2 Soit P un point du segment [BC] distinct de B. On note Q l’intersection de (AP) avec (CD). La perpendiculaireΔà (AP) passant par A coupe (BC) en R et (CD) en S.
1.Faire une figure (prendre BC = 3 cm et BP = 1 cm et placer (BC) horizontale sur la feuille). π 2.Soitr.la rotation de centre A et d’angle 2 a.Préciser l’image de la droite (BC) parr. b.Déterminer les images de R et P parr. c.Quelle est la nature des triangles RAQ et PAS ? 3.On note N le milieu du segment [PS] et M celui du segment [QR]. π1 Soitsla similitude directe de centre A, d’angle.et de rapport 4 2 a.Préciser les images des points R et P pars. b.Quel est le lieu géométrique du point N quand P décrit le segment [BC] privé de B ? c.és.De ce qui précède, déduire que les points M, B, N et D sont align
PR O B L È M E11 points Le problème a pour objet 1. Bordeaux,Caen, ClermontFerrand, Limoges, Nantes, Orl éansTours, Poitiers, Rennes
Baccalauréat C
A. P. M. E. P.
dans la partie A, d’étudier la fonctionfdéfinie sur l’intervalle [0 ; 1] par : . 2 xlnx f(x)=six6=0 etf(0)=0, 1+x dans la partie B, de calculer une valeur approchée de l’intégrale Z 1 J=f(t) dt. 0 A Étude et représentation graphique def ³ ´ Dans cette partie, le plan est rapporté au repère orthogonalO,ı,(unités gra ′ ′ phiques : 10 cm surx xet 20 cm sury y). On désigne parCla représentation graphique def. I. Étude d’une fonction auxiliaire Soitula fonction définie sur ]0 ; 1] par : 1+x u(x)= +lnx. 2+x 1.Montrer que la fonctionuest strictement croissante. Donner son tableau de variations en précisant la limite en 0 et la valeur en 1. 2.En déduire que la fonctionus’annule pour un unique nombre réelβcompris entre 0 et 1. Montrer que :
0, 54<β<0, 55.
II  Étude et représentation graphique def 1. a.Étudier la limite defen 0. b.Montrer que la fonctionfest continue sur [0 ; 1]. 2. a.Étudier la dérivabilité defen 0. ′ ′ b.Calculerf(x) pourx>0 et vérifier quef(x) etu(x) ont le même signe. 3.Donner le tableau de variations def. 4.Construire la courbeCen precisant les tangentes aux points d’abscisses res pectives 0 et 1. B La continuité defassure l’existence de l’intégrale Z 1 J=f(t) d 0 On ne cherchera pas à calculer une primitive def. I.  Étude d’une intégrale auxiliaire Soitn>1 un entier naturel. On désigne pargnla fonction numérique définie sur [0 ; 1] par : n gn(t)= −tlntsit>0 etgn(0)=0. 1.Démontrer quegnest continue sur [0 ; 1]. 2.SoitGnla fonction définie sur [0 ; 1] par : n+1n+1 tlnt t Gn(t)+= −sit>0 2 n+1 (n+1) Gn(0)=0.
Métropole groupe 2
2
juin 1991
Baccalauréat C
a.Montrer queGnest une primitive degnsur [0 ; 1]. b.En déduire la valeur de l’intégrale : Z 1 Jn=gn(t) dt. 0
II  Étude deJ
A. P. M. E. P.
1.Soittun nombre réel etnun entier naturel supérieur ou égal à 1. a.Calculer le produit ¡ ¢ 2n+1n1 Pn(t)=(1+t) 1t+t+. . .+(1)t. b.En déduire que pour tout nombre réelt6= −1, n 1t 2n+1n1n =1t+t+...+. . .+(1)t+(1) . 1+t1+t c.Montrer que pour tout nombre réelt[0 ; 1], n1ngn+2(t) f(t)=g2(t)g3(t)+g4(t). . .+(1)gn+1(t)+(1) 1+t puis que Z 1 gn+2(t) n1n J=J2J3+J4. . .+(1)Jn+1+(1) dt. 01+t gn+2(t) d., démontrer queEn s’aidant une majoration de 1+t Z 1 gn+2(t) 06d. 01+t 2.Soitn>1 un entier naturel. On pose : 1 11 n1 Sn= − +...+(1) . 2 22 3 4(n+2) a.limMontrer queSn=J. n→+∞ b.Montrer queSn6J6S9. 3 c.En déduire une valeur approchée deJà 510 près,exprimée avec trois décimales.
Métropole groupe 2
3
juin 1991
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