Baccalauréat C Metz–Nancy juin

Description

Niveau: Secondaire, Lycée
[ Baccalauréat C Metz–Nancy juin 1979 \ EXERCICE 1 4 POINTS 1. Trouver les nombres complexes z tels que z2+ (1+ i)z+ i= 0. 2. Déduire du 1 les solutions dans C des trois équations suivantes : a. z2+ (1? i)z? i = 0 ; b. 1+ (1+ i)z+ iz2 = 0 ; c. z4+ (1+ i)z2+ i= 0. EXERCICE 2 4 POINTS Soit E un espace affine euclidien de dimension 3, et soit ( O, ??ı , ??? , ?? k ) un repère orthonormé de E. On désigne par P le plan affine de E d'équation x+ y + z = 3, et par D la droite affine passant par le point A de coordonnées (0 ; 3 ; 0) et dirigée par ?? ? ? ?? k . 1. Montrer que D est située dans P. 2. Montrer qu'il existe un unique plan affine P1 tel que la symétrie sD orthogo- nale d'axe D soit la composée de la symétrie sP orthogonale par rapport à P par la symétrie sP1 orthogonale par rapport à P1. Donner une équation cartésienne de P1. 3. Soit P2 le plan parallèle à P1 passant par O. a.

• branche infinie


• moyenne arithmétique


• considérations d'aire


• unique plan


• plan parallèle


• équation cartésienne de p1


• normé oxy

Sujets

• Moyenne arithmétique
• Plan (mathématiques)

Informations

• Publié par: apmep
• Publié le: 01 juin 1979
• Nombre de lectures: 34
• Langue: Français

Extrait

[Baccalauréat C Metz–Nancy juin 1979\

E X E R C IC E 1 1.Trouver les nombres complexes z tels que

2 z+(1+i)z+i=0.

2.Déduire du 1 les solutions dansCdes trois équations suivantes : 2 a.z+(1−i)z−i=0 ; 2 b.1+(1+i)z+iz=0 ; 4 2 c.z+(1+i)z+i=0.

4 P O IN TS

E X E R C IC E 2 4 P O IN TS ³ ´ −→−→ −→ Soit E un espace affine euclidien de dimension 3, et soitO,ı,,kun repère orthonormé de E. On désigne par P le plan affine de E d’équation x+y+z=3, et par D la droite affine passant par le point A de coordonnées (0 ; 3 ; 0) et dirigée par −→ −→ −k. 1.Montrer que D est située dans P. 2.Montrer qu’il existe un unique plan affine P 1 tel que la symétrie s D orthogo nale d’axe D soit la composée de la symétrie s P orthogonale par rapport à P rthogonale par la symétries P 1 o parrapport à P 1 . Donner une équation cartésienne de P 1 . 3.Soit P 2 le plan parallèle à P 1 passant par O. a.Donner une équation cartésienne de P 2 . b.Déterminer les coordonnées de l’image de A par la projection orthogo nale sur P 2 . ◦sroù l’on désigsla sy c.Déterminer sans nouveaux calculss P 2 P 1 ne pa P 2 métrie par rapport à P 2 .

P R O B L È M E

Pour toutx>0, on pose

Partie A

f(x)=x−1−logx,

où la notation logxdésigne le logarithme népérien dex.

4 P O IN TS

1.Tracer la représentation graphique de cette fonction dans un repère ortho normé Ox y, en précisant notamment les branches infinies. 2.Soithun nombre réel donné tel que 0<h 6 1.

Le baccalauréat de 1979

A. P. M. E. P.

a.Calculer l’aireA(h) du domaineD h formé des points dont les coordon nées (x;y) vérifient les inégalités

h 6 x 6 1 et 0 6 y 6 f(x). b.Calculer la limite deA(h) quandh>0 tend vers 0. 3.De l’étude def, déduire que pour toutx>0, on a l’inégalité

logx 6 x−1. (1) Partie B Soitnun entier supérieur ou égal à 2. On donnennombres réels strictement positifs a 1 ,a 2 . . ,, .a n et on pose  1 u= ( a 1 +a 2 + ∙ ∙ ∙ +a n ) ;   n p n v=a 1 a 2 . . .a n ; n1 11   = ++ ∙ ∙ ∙ + w a 1 a 2 a n Les nombresu,vetwsont respectivement les moyennes arithmétique, géomé trique et harmonique desnnombresa 1 ,a 2 ,∙ ∙ ∙,a n . 1. a.En appliquant l’inégalité (1) successivement pour a 1 a 2 a n x=,x=. . ,, .x= u uu et en combinant lesninégalités obtenues, montrer que v 6 u. (2) b.Dans quel cas atonv=u? 2. a.En remplaçant dans (2) lesnnombresa 1 ,a 2 , .. . ,a n par leurs inverses, prouver que

w 6 v. (3) b.Dans quel cas atonw=v? N.B. les parties C et D ciaprès sont indépendantes. Partie C Soitxun nombre réel supérieur à zéro. On prendn=2,a 1 =1 eta 2 =x. Dans ce cas les inégalités (2) et (3) donnent 2x1+x 6 x 6 . 1+x2 p On se propose prendre comme valeur approchée dexla moyenne arithmétique 2x1+x m(x) des nombreset . 1+x2 1.Pour étudier la précision de cette approximation, tracer la courbe représenta tive de la fonctiongdéfinie par 2 x+6x+1 p g(x)= −x, 4(x+1) pourxréel supérieur à zéro. N.B. Pour discuter du signe de la dérivée deg, on pourra poserx=1+tet constater queg(x) passe par un minimum pourx=1.

Metz–Nancy

2

juin 1979

Le baccalauréat de 1979

A. P. M. E. P.

1 2.En déduire que, pour 6 x 6 2, on a 2 3 0 6 m(x)−x 6 . 1000 Partie D 1.En appliquant l’inégalité (2), montrer que, pour tout entiern>0, on a l’inéga lité n n+1 n! 6 . 2 2. a.Par des considérations d’aires, montrer que Z n n X 1 1 6 1+dx. k 1 x k=1 b.En déduire que, pour tout entiern>0, on a l’inégalité n n 6 n!. 1+logn

Metz–Nancy

3

juin 1979