Baccalauréat C Montpellier juin

Description

Niveau: Secondaire, Lycée
[ Baccalauréat C Montpellier juin 1981 \ EXERCICE 1 E est un espace vectoriel réel euclidien de dimension 3, (?? ı , ??? , ??k ) une base ortho- normée de E, F l'endomorphisme de E tel que ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? F (?? ı ) = 1 3 (?? ı ?2??? +5??k ) ; F (?? ? ) = 1 3 ( ?2??ı ?2??? +2??k ) ; F (?? k ) = 1 3 ( 5??ı +2??? +??k ) . 1. Démontrer que l'image de F est un plan vectoriel P orthogonal au noyau de F . 2. Démontrer que le couple B = (?? ı + ?? k ; ??ı +??? ???k ) est une base orthogonale de P ; f désignant la restriction de F à P, déterminer la matrice de f relative à la base B et reconnaître 12 f . 3. Montrer que F peut être considéré comme composée de trois applications simples que l'on déterminera. EXERCICE 2 Soit A = Z/11Z. 1. Discuter suivant a le nombre de solutions de l'équation x2 = a, a ? A, x ?A.

• ·· ·


• ?2


• réel euclidien de dimension


• équation x2?


• ?? ?


• matrices de ?2 et de ??1

Informations

• Publié par: apmep
• Publié le: 01 juin 1981
• Nombre de lectures: 23
• Langue: Français

Extrait

[Baccalauréat C Montpellierjuin 1981\

E X E R C IC E 1 ³ ´ −→−→ −→ E est un espace vectoriel réel euclidien de dimension 3,ı,,kune base ortho normée de E,Fl’endomorphisme de E tel que  ³ ´³ ´ −→ 1 −→ →−−→ F ı=ı−2+5k;  3  ³ ´³ ´ −→ 1 →− −→ −→ F= −2ı−2+2k; 3 ³ ´³ ´ −→ 1 −→ −→ −→   F k=5ı+2+k. 3

1.Démontrer que l’image deFest un plan vectoriel P orthogonal au noyau deF. ³ ´ −→ −→ −→−→ −→ 2.Démontrer que le coupleB=ı+k;ı+−kest une base orthogonale de P ;fdésignant la restriction deFà P, déterminer la matrice defrelative à 1 la baseBet reconnaîtref. 2 3.Montrer queFpeut être considéré comme composée de trois applications simples que l’on déterminera.

E X E R C IC E 2 Soit A =Z/11Z.

1.Discuter suivantale nombre de solutions de l’équation

2 x=a,a∈A,x∈A. 2 ˙ ˙ 2.Montrer que dans A, l’équationx−2p x+q=0 (p∈A,q∈A) a deux solutions 2 (distinctes ou confondues) si, et seulement si,p−qappartient à un sous ensemble B (à déterminer) de A. 4 2 ˙ ˙ 3.Résoudre alors l’équationx+3x+4=0 dans A. 4.Déterminer les entiersxtels que le nombre qui s’écrit 10304 en basexsoit divisible par 11.

P R O B L È M E On note E l’ensemble des fonctions numériques définies sur ]0 ;+∞[ et admettant ⋆ pour tout n deNune dérivéenième sur ]0 ;+∞[. On rappelle que E muni de l’addition des fonctions et de la multiplication par un réel est un espace vectoriel surR. Partie A Pour tout élémentfde E, on désigne pargl’application de ]0 ;+∞[ dansRdéfinie ′ ′ par :g(x)=x f(x), oùfdésigne la fonction dérivée première def ′ 1. a.Calculerg(x), pour toutxde ]0 ;+∞[. ⋆ b.Vérifier, par récurrence, que pour toutndeN: (n) (n+1) (n) ∀x∈]0 ;+∞[,g(x)=x f(x)+n f(x), (n)⋆ oùfdésigne, pour toutndeN, la dérivéenième def. En déduire quegest élément de E.

Le baccalauréat de 1981

A. P. M. E. P.

2.Soitϕl’application de E dans E définie parϕ(f)=g. Montrer queϕest une application linéaire de E dans E. 2 3.On poseϕ=ϕ◦ϕ. 2 a.Pour toute applicationfde E, on poseh=ϕ(f). Montrer que

2′′ ′ ∀x∈]0 ;+∞[,h(x)=x f(x)+x f(x). 2 b.En utilisant 1. a, montrer que le noyau deϕ(f) est un sousespace vecto riel de E, de dimension 2, dont une base est formée des deux applications f 1 etf 2 de E définies par :

∀x∈]0 ;+∞[,f 1 (x)=Logx ∀x∈]0 ;+∞[,f 2 (x)=1 Partie B 1.Étudier les variations de la fonctionfdéfinie de ]0 ;+∞[ dansRpar Logx f(x)=. x ³ ´ −→−→ Construire, dans le plan affinePO,rapporté au repère orthonorméı, −→−→ tel que ° ı ° = °  ° =2 cm, la courbe représentative def. ⋆ 2.Vérifier par récurrence que, pour toutndeN, il existe un couple (u n ;v n ) de 2 Rtel que +vLogx (n) u n n ∀x∈]0 ;+∞[,f(x)=. n+1 x En déduire quefest élément de E. 3.Soit les suitesuparet définies ( n ) n∈N ( v n ) n∈N ⋆ ⋆  u 1 =1,   v 1 = −1, ⋆ u n+1 =v n −(n+1)u n ,∀n∈N   ⋆ v n+1 = −(n+1)v n ,∀n∈N a.Exprimerv n en fonction den. ⋆ b.Vérifier que, pour toutndeN, on a µ ¶ 1 11 1 n+1 u n =(−1)n! 1+ + +∙ ∙ ∙ ++ ∙ ∙ ∙ + 2 3p n Partie C SoitFl’ensemble des fonctionsf a,b de ]0 ;+∞[ dansRdéfinies par aLogx+b 2 f a,b (x)=où (a,b)∈R. x ¡ ¢ 1.Montrer queFest un sousespace vectoriel de E dontf 1, 0 ,f 0, 1 est une base. 2. a.Établir :∀f∈F,ϕ(f)∈F(ϕest l’application définie au A 2.).

Montpellier

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Le baccalauréat de 1981

A. P. M. E. P.

b.On noteϕla restriction deϕàF. ¡ ¢ Écrire la matriceMdeϕdans la basef 1, 0 ,f 0, 1 . Montrer queϕest bijective. ¡ ¢ 2−1 Écrire, dans la même basef 1, 0 ,f 0, 1 les matrices deϕet deϕ. ⋆ c.Montrer que, pour toutndeN.   n (−1) 0 n   M=   n+1n n(−1) (−1)

Partie D On se propose de déterminer les élémentsfde E vérifiant 2 (1)ϕ(f)=f 1, 4 c’estàdire

4+Logx 2′′ ′ ∀x∈]0 ;+∞[,x f(x)+x f(x)=. x 1.Montrer qu’il existe un unique élémentf 0 de F vérifiant (1 ). ¡ ¢¡ ¢ 2 2.Soitf∈E. Établir quefvérifie (1) si, et seulement si,f−f 0 ∈Kerϕ. En déduire l’ensemble des fonctions de E qui vérifient (1).

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