Baccalauréat C Montpellier juin

Description

Niveau: Secondaire, Lycée
[ Baccalauréat C Montpellier 1 juin 1989 \ EXERCICE 1 4 POINTS Le plan est rapporté à un repère orthonormal direct ( O, ??u , ??v ) . On donne les points : A(4 ; ?1) ; B ( 1+ p 3 ; 2+ p 3 ) ; C ( 2?2 p 2 ; 1 ) ; D(0 ; ?1). Placer ces points en prenant 1,7 comme valeur approchée de p3 et 1,4 comme va- leur approchée dep2. On désigne par a, b, c, d les affixes respectives des points A, B, C, D. 1. Montrer que : a?c d ?c = ( 2+p2 2 ) (1+ i). On admettra que a?b d ?b = ( 3?p3 2 ) (1+ i). 2. Déduire de ces résultats les mesures respectives des angles (???CD ; ???CA ) et (???BD ; ???BA ) . Montrer que les points A, B, C, D sont sur un cercle (C ). Construire son centre? puis dessiner (C ). 3. On considère la rotation de centre? et d'angle pi2 . Quelle est l'image de D par cette rotation ? En écrivant l'expression complexe de cette rotation trouver l'affixe de?.

• repère orthonormal


• courbe représentative de fk dans le repère orthonormal


• rotation de centre? et d'angle pi2


• solution de l'équation différentielle


• vecteur unitaire de la demi-droite


• repère orthonormal direct

Sujets

• Base orthonormale

Informations

• Publié par: apmep
• Publié le: 01 juin 1989
• Nombre de lectures: 41
• Langue: Français

Extrait

1 [juin 1989Baccalauréat C Montpellier\

E X E R C IC E 1 4 P O IN TS ³ ´ −→−→ Le plan est rapporté à un repère orthonormal directO,u,v. On donne les points : ³ ´³ ´ p p A(4 ;−11) ; B+3 ; 2+3 ;C 2−2 2; D(0; 1;−1). Placer ces points en prenant 1,7 comme valeur approchée de3 et 1,4 comme va leur approchée de2. On désigne para,b,c,dles affixes respectives des points A, B, C, D. 1.Montrer que : Ã ! p a−c2+2 =(1+i). d−c2 Ã ! a−b3−3 On admettra que=(1+i). d−b2 ³ ´ −→−→ 2.Déduire de ces résultats les mesures respectives des anglesCD ;CA et ³ ´ −→−→ BD ; BA. Montrer que les points A, B, C, D sont sur un cercle (C). Construire son centreΩpuis dessiner (C). π 3.On considère la rotation de centreΩ.et d’angle 2 Quelle est l’image de D par cette rotation ? En écrivant l’expression complexe de cette rotation trouver l’affixe deΩ.

E X E R C IC E 2 4 P O IN TS FGH est un triangle équilatéral de côté de longueurℓ. Soit (H) l’hyperbole de foyer F, de directrice (GH) et d’excentricité 2. ′ 1.de cette hyperbole (on remarquera que S etDéterminer les sommets S et S ′ S sontsur la hauteur issue de F dans le triangle FGH), son centre O et le ′ deuxième foyer F . Calculer, en fonction deℓ, la distance des sommets 2aet la distance des deux foyers 2c. ³ ´ −→−→ 2.O,On choisit le repère orthonormalı,où O est le centre de l’hyperbole −→ etıun vecteur unitaire de la demidroite [OF). Écrire une équation de (H). Donner l’allure de (H).

P R O B L È M E 12 P O IN TS Le graphique cijoint donne les courbes représentatives de quelques solutions de l’équation différentielle :

′2 y−2y=8x−8x ³ ´ −→−→ dans un repère orthonormalO,ı,. A.

1. AixMarseille,Corse, Nice, Toulouse

Le baccalauréat de 1989

A. P. M. E. P.

′ 1.Résoudre l’équation différentielle :y−2y=0 (1) 2.Déterminer un polynôme du second degréP(x) solution de l’équation diffé ′2 rentielle :y−2y=8x−8x(2) 3.Démontrer que les fonctionsf k définies surRpar :

2x2 f k (x)=ke−4x,

oùkest un réel donné quelconque, sont solutions de l’équation différentielle (2).

B.Étude de certaines fonctionsf k définies surRpar :

2x2 f k (x)=ke−4x. ³ ´ −→−→ Cdésigne la courbe représentative defO,dans le repère orthonormalı,. k k 4 2 On posek 1 =etk 2 =. 2 e e 1.Dans cette questionkest un réel strictement positif. 2 Chercher limf k (x) (on pourra mettrexen facteur dansf k (x)) etlimf k (x). x→+∞x→−∞ ′′ ′′ 2.Calculerf k (x) etf(x) ; étudier pourk=k 1 et pourk=k 2 , le signe def(x) et ′ le sens de variation def(x). 3. a.Démontrer que l’équationf(x)=0 a deux solutions dansR, dont une k 1 évidente. On appelleαl’autre solution. −3 Donner un encadrement décimal d’amplitude 10deα. ′ b.Résoudre dansRl’équationf(x)=0. k 2 4.Déterminer le sens de variation respectivement defet def(on ne de k 1 k 2 ion det mande pas ici le calcul def k (αe)). Donner les tableaux de variatf k 1 1 def. k 2 pondant à; Indiquer, sur le graphique joint, les courbesC 0 (corresk=0) ;C k 1 C k . 2 · ¸ 1 5.Calculer la valeur moyenne def k . sur l’intervalle0 ; 2

′ C.Étude des points deC k à tangente parallèle à (x x). 1.On s’intéresse aux points, lorsqu’ils existent, des courbesC k en lesquels la ′ tangente àC k est parallèle à (x x). Montrer que ces points appartiennent à la parabole (P) d’équation 2 y= −4x+4x. Tracer (P) sur le graphique joint. 2.Déduire de l’encadrement deα, obtenu en B. 3., un encadrement def k (α). 1 −2 (αprès. Donner une valeur approchée def k 1 ) à 10

Montpellier

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Le baccalauréat de 1989

−1

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A. P. M. E. P.

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