Baccalauréat C Montpellier juin

Description

Niveau: Secondaire, Lycée
[ Baccalauréat C Montpellier juin 1984 \ EXERCICE 1 4 POINTS On se propose d'étudier une fonction numérique f et de préciser sa courbe repré- sentative C dans un repère orthonormé ( O, ??ı , ??? ) . ln désigne la fonction logarithme népérien. f est la fonction numérique définie sur R+ par : ? ? ? f (x) = x ln ( x+ 1 x ) ?x ?R?+ f (0) = 0. 1. Étudier la continuité et la dérivabilité de f en zéro. 2. On considère la fonction g pour x appartenant à [1 ;+∞[ par g (x) = x lnx et on appelle ? sa courbe représentative dans le même repère ( O, ??ı , ??? ) . Étudier g et tracer ?. 3. Étudier la limite de f quand x tend vers +∞. Montrer que les courbes ? et C sont asymptotes et préciser leurs positions relatives. 4. Déterminer f ? et f ?? puis étudier le sens de variation de f ? et montrer que f ? est positive. Achever l'étude de la fonction f . Tracer la courbe C sur la même figure que ?. EXERCICE 2 4 POINTS Dans P, plan orienté muni d'un repère orthonormé direct ( O, ??u , ??v ) deux points A et B ont pour coordonnées respectives (?a ; 0) et (a ; 0).

• repère orthonormé direct


• âge inférieur


• courbes ?


• fixes ?


• individus d'âge


• raisons respectives


• b1 b2


• voie d'expansion ?


• repère orthonormé

Sujets

• Base orthonormale

Informations

• Publié par: apmep
• Publié le: 01 juin 1984
• Nombre de lectures: 34
• Langue: Français

Extrait

[Baccalauréat C Montpellier juin 1984\

E X E R C IC E 1 4 P O IN TS On se propose d’étudier une fonction numériquefet de préciser sa courbe repré ³ ´ −→−→ sentativeCO,dans un repère orthonorméı,. ln désigne la fonction logarithme népérien. fest la fonction numérique définie surR + par :  µ¶ 1  ⋆ f(x)=xlnx+ ∀x∈R + x  f(0)=0. 1.Étudier la continuité et la dérivabilité defen zéro. 2.On considère la fonctiongpourxappartenant à [1 ;+∞[ parg(x)=xlnxet ³ ´ −→−→ on appelleΓsa courbe représentative dans le même repèreO,ı,. Étudierget tracerΓ. 3.Étudier la limite defquandxtend vers+∞. Montrer que les courbesΓetCsont asymptotes et préciser leurs positions relatives. ′ ′′′ ′ 4.Déterminerfetfpuis étudier le sens de variation defet montrer quef est positive. Achever l’étude de la fonctionf. Tracer la courbeCsur la même figure queΓ.

E X E R C IC E 2 4 P O IN TS ³ ´ −→−→ Dans P, plan orienté muni d’un repère orthonormé directO,u,vdeux points A et B ont pour coordonnées respectives (−a; 0) et (a; 0). (aréel strictement positif.) π r A est la rotation de centre A, d’angle de mesure. 3 µ ¶ 2π r B est la rotation de centre B, d’angle de mesure−. 3 Pour tout pointMdu plan P, on noteM A =r A (M) etM B =r B (M).

1.Métant un point donné de P, construire les pointsM A etM B : justifier la construction. 2.Démontrer que le milieu du segment [M A M B ] est un point fixe indépendant du choix deM. −1 a.en composant les applicationsrpuisr B ; A b.en utilisant les nombres complexes. 3.Démontrer, par le procédé de votre choix, que lorsqueM6=M A etM6=M B , ³ ´³ ´ −−−−→−−−−→−−→−−→ π mesM M A ,M M B =mesMA ,MB+ +k2π,k∈Z. 2 En déduire

π mes (M M A ,M M B ) =mes (MA,MB)+ +kπ,k∈Z. 2 Quel est l’ensemble des pointsMdu plan P tels queM,M A ,M B soient alignés ? Construire cet ensemble. N.B. : Les mesures des angles sont exprimées en radians.

Le baccalauréat de 1984

A. P. M. E. P.

P R O B L È M E 12 P O IN TS On recense une population tous les 40 ans. Le but de cet exercice est d’étudier l’évolution de cette population suivant un modèle particulier que l’on précise à partir de trois recensements. Partie A Présentation concrète La population, pour la tranche d’âge de 0 à 80 ans, a été recensée en 1900, 1940 et 1980, en séparant les deux classes d’âges suivantes : – laclasse A constituée par tous les individus d’âge inférieur ou égal à 40 ans ; – laclasse B constituée par tous les individus d’âge strictement supérieur à 40 ans et d’âge inférieur ou égal à 80 ans. Les recensements de 1900, 1940, 1980 ont donné les résultats suivants (effectifs en millions d’habitants) : Années ClasseA ClasseB Total 1900a 0 =30h 0 =20t 0 =50 1940a 1 =28h 1 =24t 1 =52 1980a 2 =28, 8h 2 =22, 4t 2 =51, 2 On suppose que les classes ont évolué de telle sorte qu’il existe trois coefficients fixes α,β,γtels que : ½ ½ a 1 =αa 0 +b 0 a 2 =αa 1 +b 1 et b 1 =γa 0 b 2 =γa 1 1.Avec les données cidessus, calculerα,β,γ. 2.On notea n l’effectif de la classe A au recensement de l’année (1900+40n). On noteb n l’effectif de la classe B au recensement de l’année (1900+40n). On suppose que le modèle exposant le renouvellement des classes A et B se conserve pour tous les recensements avec les mêmes coefficientsα,β,γ. Exprimera n+1 etb n+1 en fonction dea n ,b n ,α,β,γ. Partie B On se propose d’étudier les suitesvetwvérifiant : ½ v n+1 =αv n +βw n (1)∀n∈N w n+1 =γv n . α,β,γsont trois réels donnés dans l’intervalle ]0 ; 1[, 1.Montrer quev n+2 =αv n+1 βγv n pour toutndeN. En déduire que siq 1 etq 2 sont deux réels distincts de sommeαet de produit (−βγ), alors les suites ¡ ¢¡ ¢ v n+1 −q 1 v n etv n+1 −q 2 v n n∈Nn∈N sont géométriques et de raisons respectivesq 2 etq 1 . En déduirev n+1 −q 1 v n ,v n+1 −q 2 v n , puisv n en fonction dev 0 ,v 1 ,q 1 ,q 2 ,n. (On ne cherchera pas ici à calculerq 1 etq 2 ) Exprimer de mêmew n . 2.Calculerq 1 etq 2 puis limv n et limw n dans le cas particulier suivant : n→+∞n→+∞ α=0, 6,β=0, 5,γ=0, 8. 3.Dans les notations de la première partie, en déduirea n etb n en fonction den. Préciser aussit n =a n +b n et limt n . n→+∞ Que pensezvous de l’évolution à long terme (on peut dire :ntendant vers l’infini) de la population décrite dans la première partie ?

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Le baccalauréat de 1984

A. P. M. E. P.

Partie C α,β,γsont toujours trois réels dans l’intervalle ]0 ; 1[, 1.On suppose que les suitesvetwont des limites finies non nulles. Montrer en utilisant les relations (1) que nécessairementα+βγ=1. 2.Réciproquement, siα+βγ=1, montrer que les suitesvetwsont conver gentes. (on pourra vérifier queq 1 etq 2 prennent les valeurs 1 et (α−1). Remarque ne faisant l’objet d’aucune démonstration La conditionα+βγ=1 est donc un critère permettant, pour ce modèle, de prévoir l’existence à long terme d’un équilibre pour la population, Si cette condition n’est pas vérifiée, on peut montrer que la population est : – soiten voie d’expansionα+βγ>1, – soiten voie d’extinctionα+βγ<1.

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