Baccalauréat C Montréal juin

Description

Niveau: Secondaire, Lycée
[ Baccalauréat C Montréal juin 1979 \ EXERCICE 1 3 POINTS On considère dans C l'équation en z : (1) z6?9iz3+18?26i = 0 et l'équation en Z : (2) Z 3?1= 0. 1. Montrer que (2+ i) et (1? i) sont des racines de l'équation (1). 2. Résoudre l'équation (2) . 3. Montrer que si z0 est une racine de (1) et Z0 une racine de (2), alors z0Z0 est une racine de (1). En déduire l'ensemble des racines de l'équation (1). EXERCICE 2 4 POINTS On considère la fonction f définie par f (x)= logx x . (log désignant le logarithme népérien). 1. Étudier les variations de f et construire sa courbe représentative (C ) dans un repère orthonormé (unité : 2 cm). Calculer les abscisses x1, x2, x3, x4 des points M1, M2, M3, M4 suivants : M1 : intersection de (C ) et de l'axe x?Ox, M2 : point de (C ) où la tangente à (C ) passe par l'origine O du repère, M3 : point de (C ) où la tangente est parallèle à l'axe x?Ox, M4 : en x4 la dérivée seconde de f s'annule.

• équation en z


• matrice dans la base


• droites vectorielles


• endomorphismes associés


• image par ?1


• anneau commutatif


• addition des matrices et de la multiplication des matrices

Sujets

• Anneau commutatif

Informations

• Publié par: apmep
• Publié le: 01 juin 1979
• Nombre de lectures: 29
• Langue: Français

Extrait

[Baccalauréat C Montréal juin 1979\

E X E R C IC E 1 On considère dansCl’équation enz: 6 3 (1)z−9iz+18−26i=0

et l’équation enZ:

3 P O IN TS

3 (2)Z−1=0. 1.Montrer que (2+i) et (1−i) sont des racines de l’équation (1). 2.Résoudre l’équation (2) . 3.Montrer que siz 0 est une racine de (1) etZ 0 une racine de (2), alorsz 0 Z 0 est une racine de (1). En déduire l’ensemble des racines de l’équation (1).

E X E R C IC E 2 4 P O IN TS On considère la fonctionfdéfinie par logx f(x)=. x (log désignant le logarithme népérien). 1.Étudier les variations defet construire sa courbe représentative (C) dans un repère orthonormé (unité : 2 cm). Calculer les abscissesx 1 ,x 2 ,x 3 ,x 4 des pointsM 1 ,M 2 ,M 3 ,M 4 suivants : ′ M 1 : intersection de (C) et de l’axexOx, M 2 : point de (C) où la tangente à (C) passe par l’origine O du repère, ′ M 3 : point de (C) où la tangente est parallèle à l’axexOx, M 4 : enx 4 la dérivée seconde defs’annule. Démontrer que les nombresx 1 ,x 2 ,x 3 ,x 4 sont quatre termes consécutifs d’une suite géométrique.

P R O B L È M E 13 P O IN TS Les questions C 1., 2., 3. et 4. peuvent être traitées indépendamment de celles qui précèdent SoitMl’ensemble des matrices carrées d’ordre 2 à coefficients réels. On rappelle queMne, muni de l’addition des matrices et de la multiplication d’u matrice par un réel, est un espace vectoriel surR, et queM, muni de l’addition des matrices et de la multiplication des matrices est un anneau unitaire. Partie A Soit A, I, O les trois matrices deMsuivantes : µ ¶µ ¶µ ¶ 5−00 06 1 A=I=O= 3−1 006 0 On désigne parEle sousespace vectoriel deMengendré par A et I, (c’estàdire : Mest élément deEsi et seulement si il existe deux nombres réelsaetbtels que : M=aA+bI).

Le baccalauréat de 1979

A. P. M. E. P.

1.Montrer que (A, I) est une base de E. 2 2.Montrer que A+A−12I=0. Montrer queE, muni de l’addition des matrices et de la multiplication des matrices, est un anneau commutatif unitaire.

Partie B ³ ´ −→−→ Soit P un plan vectoriel euclidien etı,une base orthonormée de P. ³ ´ −→−→ On noteraϕ M l’endomorphisme de P dont la matrice dans la baseı,est M. 1.ices deDéterminer par leurs coordonnées dans la base (A, I) les matrEqui vérifient la relation :

2 M=I. 2.omorphismeDéterminer dans chaque cas la nature et les éléments de l’end ϕ M correspondant. On noteraS 1 etS 2 les endomorphismes obtenus distincts de l’identité de P et de l’homothétie de rapport−1, Partie C ³ ´ −→−→ SoitPun plan affine euclidien associé à P etO,ı,un repère orthonormé de P. Soitfetgdeux fonctions réelles de la variable réelle : f:R→R ³ ´ p 1 2 x7→−11x+7x+2 12 g:R→R ³ ´ 1 2 x→−711x−7x+2 12 3 1 1.Étudier les variations def. Vérifier que les droites d’équationy=xety=x 2 3 sont asymptotes à la courbeC 1 représentation graphique defdans le repère ³ ´ −→−→ O,ı,. ConstruireC 1 . ³ ´ −→−→ 2.SoitC 2 la représentation graphique degdans le même repèreO,ı,. (On ne demande pas l’étude des variations de g). SoitΔla droite affine dont une équation est 11x−12y=0 etσla symétrie affine dePpar rapport àΔdont la direction est la droite vectorielle engendrée par −→ . Démontrer queC 2 =σ ( C 1 ). DessinerC 2 sur la même figure queC 1 . 3.SoitCla réunion deC 1 etC 2 . ³ ´ −→−→ Montrer qu’un pointNdePde coordonnées (x;yO,) dans le repèreı, appartient àCsi et seulement si :

49 (3x−2y)(x−3y)− =0. 12 −→−→−→−→−→−→ 4.Soitu=3ı+,v=2ı+3. ³ ´ −→−→ Montrer queO,u,vest un repère deP. Quelle est l’équation deCdans ce repère ? Quelle est la nature deC?

Montréal

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juin 1979

Le baccalauréat de 1979

A. P. M. E. P.

5.SoitΣ 1 etΣ 2 les applications affines dePqui laissent le point O invariant et dont les endomorphismes associés sont respectivementS 1 etS 2 définis en B 2. SoitNun point deP,N 1 son image parΣ 1 ,N 2 son image parΣ 2 . ³ ´ −→−→ On désigne par (X;Y) les coordonnées deNdans le repèreO,u,v, par ( X 1 ;Y 1 ) celles deN 1 et par (X 2 ;Y 2 ) celles deN 2 . ExprimerX 1 etY 1 en fonction deXet deY. ExprimerX 2 etY 2 en fonction deXet deY. Montrer qeΣ 1 ( C ) =Σ 2 ( C).

Montréal

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