Baccalauréat C Nancy juin

Description

Niveau: Secondaire, Lycée
[ Baccalauréat C Nancy juin 1977 \ EXERCICE 1 3 POINTS Soit n un entier strictement supérieur à 2. Si p est un entier relatif (p ? Z) nous noterons par p la classe de p modulo n (p ?Z/nZ). On note par Sn l'ensemble des x de Z/nZ qui vérifient x2+1= 0. 1. a. Démontrer que pour chaque n(n > 2)0,1 et ?1 ne sont pas dans Sn. b. Démontrer que si x ? Sn et si y ? Sn on a alors (x? y)(x+ y)= 0. c. Démontrer que si x ? Sn , alors ?x ? Sn ; montrer que si n est premier, Sn est vide ou a exactement deux éléments. 2. Résoudre l'équation x2+1= 0 dans chacun des cas suivants : n = 5, n = 7, n = 6, n = 10. EXERCICE 2 4 POINTS Soit R+ l'ensemble des nombres réels positifs ou nuls ; soit f l'application de R+ dans R définie de la façon suivante : { f (0) = 0, et f (x) = x2 ln(x) si x > 0. 1. Étudier f et construire sa représentation graphique dans un plan euclidien rapporté à un repère orthonormé ; on donne 1pe ≈ 0,61 et 1 e ≈ 0,37.

• vecteur directeur


• réel µ


• barycentre des points


• droite ?


• système d'équations cartésiennes


• droite passant par k? et de vecteur directeur

Sujets

• Vecteur directeur

Informations

• Publié par: apmep
• Publié le: 01 juin 1977
• Nombre de lectures: 37
• Langue: Français

Extrait

[Baccalauréat C Nancy juin 1977\

E X E R C IC E 1 3 P O IN TS Soitnun entier strictement supérieur à 2. Sipest un entier relatif (p∈Z) nous ¡ ¢ noterons parpla classe depmodulon p∈Z/nZ. 2 On note parS n l’ensemble desxdeZ/nZqui vérifientx+1=0. 1. a.Démontrer que pour chaquen(n>2)0, 1et ?1 ne sont pas dans Sn. b.Démontrer que six∈S n et siy∈S n on a alors

(x−y)(x+y)=0. c.Démontrer que six∈S n , alors−x∈S n ; montrer que sinest premier,S n est vide ou a exactement deux éléments. 2 2.Résoudre l’équationx+1=0 dans chacun des cas suivants :n=5,n=7,n= 6,n=10.

E X E R C IC E 2 4 P O IN TS SoitR + l’ensemble des nombres réels positifs ou nuls; soitfl’application deR + dansRdéfinie de la façon suivante : ½ f(0)=0, et 2 f(x)=xln(x) six>0.

1.Étudierfet construire sa représentation graphique dans un plan euclidien 1 1 rapporté à un repère orthonormé ; on donne≈0, 61et≈0, 37.(On étu e e diera la dérivabilité defen 0). 2.Soitgl’application deR + dansRdéfinie par : Z x g(x)=f(t) dt,x > 0. 1 a.Justifier l’existence deg. b.Calculer explicitementg(x) pourx>0. c.Calculerg(0) ; en déduire l’aire de la partie du plan définie par : © ª 0 6 x 6 1 etf(x) 6 y 6 0 .

P R O B L È M E 13 P O IN TS ³ ´ −→−→ −→ SoitEO,un espace affine de dimension 3 rapporté au repère orthonorméı,,k.

Partie A On appelle A, B, C, D les points deEdéfinis respectivement par les triplets de coor données suivants :

(1 ;−(2 ; 0 ; 1);(1 ; 0);−1 ; 1 ; 0) et (−0 ; 1).2 ; Soitλetµ; on désigne pardes nombres réelsPle barycentre des points pondérés (A, 1+λ) et (B,λ) et par Q le barycentre des points pondérés (C, 1+λ) et (D,−λ). µ ¶µ ¶ 1+µ1−µ Enfin on appelleGle barycentre des points pondérésP, etQ, . 2 2

Le baccalauréat de 1977

A. P. M. E. P.

1. a.Calculer, en fonction deλ, les coordonnées des pointsPetQ. b.Démontrer que les coordonnées deGsont :

(λ+µ;λ−µ;λ×µ).

2. a.Le réelλétant supposé fixé, montrer que l’ensemble des pointsGobte nus quandµvarie est une droiteD λ . b.ReprésenterD λ par un système d’équations cartésiennes. 3. a.Le réelµétant fixé, montrer que l’ensemble des pointsGobtenus quand λvarie est une droiteD µ . b.ReprésenterD µ par un système d’équations cartésiennes. 4.Montrer que l’ensembleSdes pointsGobtenus quandλetµdécriventRest l’ensemble des pointsMde l’espace dont les coordonnées vérifient

2 2 x−y=4z.

5.ReconnaîtreS. Partie B 1.Déterminer l’intersection de l’ensembleSdéfini au A 4. avec chacun des trois plans d’équationx=0,z=0 etz=1. Représenter les trois ensembles obtenus sur des figures séparées en rappor tant chacun des plans considérés à un repère orthonormé simple. ′ 2.les points de coordonnées (0 ; 0 ; 1) et (0 ; 0 ;Soit K et K−1) respectivement. −→ ′ On désigne parLla droite passant par K et de vecteur directeur, et parLla −→ ′ droite passant par Ket de vecteur directeurı. SoitMle point deEde coordonnées (x;y;zmontrer que la projection) ; orthogonaleHdeMsurLa pour coordonnées (0 ;y; 1), et que la projection ′ ′ orthogonaleHdeMsurLa pour coordonnées (x; 0 ;−1). Montrer queSest l’ensemble des pointsMdeEsitués à égale distance deL ′ et deL. Partie C π π On désigne parVl’espace vectoriel associé àE. Siϕest un réel vérifiant− <ϕ<, 2 2 on désigne parF ϕ l’endomorphisme deVdéfini par :  ³ ´ −→ −→ −→ F ϕ ı=(−cos 2ϕ)+(sin 2ϕ)k   ³ ´ −→−→ F ϕ = −ı ³ ´ −  −→→ −→  F ϕ k=(−sin 2ϕ)+(−cos 2ϕ)k

1.Montrer queF ϕ est un endomorphisme orthogonal deV, et montrer que l’en semble des vecteurs deVinvariants parF ϕ est la droite vectorielle dont un −→ −→ −→ vecteur directeur estı−+(tanϕ)k. 2.Soitf ϕ l’application affine deEdansEdont l’endomorphisme associé estF ϕ et telle quef ϕ (K) soit le point K 1 tande coordonnées (2ϕest le; 0 ; 1), où K point de coordonnées (0 ; 0 ; 1). a.Définir analytiquementf ϕ . b.Montrer qu’il existe des points deEinvariants parf ϕ (on pourra chercher des points invariants dont la première coordonnée est nulle). En déduire quef ϕ est une rotation dont on déterminera l’axeδ ϕ .

Nancy

2

juin 1977

Le baccalauréat de 1977

A. P. M. E. P.

′ ′ c.Montrer queδ ϕ est inclus dansSet quef ϕ (L)=LoùLetLsont les droites que l’on a définies au B 2. Partie D ′ Soitrune rotation (affine) teller(L)=L. On désigne parδl’axe der, et parRla rotation vectorielle associée àr. ³ ´³ ´ −→−→−→−→ Montrer que l’on aR=ıouR= −ı Montrer que la droiteδest contenue dansS.

Nancy

3

juin 1977