Baccalauréat C Nantes juin

Description

Niveau: Secondaire, Lycée
[ Baccalauréat C Nantes juin 1978 \ EXERCICE 1 3 POINTS Résoudre dans Z l'équation suivante d'inconnue x : 3x2+4x ? 0 [modulo 21]. EXERCICE 2 4 POINTS Soit f l'application de C dans C définie par : f (z)= z3+az2+bz?42+24i. où a et b sont des éléments de C. 1. Déterminer a et b sachant que : { f (1) = ?44+32i f (?1) = ?30+16i. 2. On suppose, dans cette question, que : a = 5 et b =?8+8i. Démontrer qu'il existe un réel r , et un seul, tel que f (r )= 0 et résoudre dans C alors l'équation (E) d'inconnue z : f (z)= 0. (E) On appelle z1, z2 et z3 les solutions de (E) ; on note Z le complexe z1z2+ z2z3+ z3z1. Calculer Z . Déterminer le module et un argument de Z . PROBLÈME 4 POINTS La partie C du problème est indépendante des parties A et B Partie A Soit E un espace vectoriel euclidien orienté de dimension trois dont une base ortho- normée directe est B = (?? ı , ??? , ??k ) . 1.

• droites vectorielles


• demi tour


• argument de z


• base orthonormée directe


• base ortho


• normé direct

Sujets

• Base orthonormale

Informations

• Publié par: apmep
• Publié le: 01 juin 1978
• Nombre de lectures: 23
• Langue: Français

Extrait

[Baccalauréat C Nantes juin 1978\

E X E R C IC E 1 Résoudre dansZl’équation suivante d’inconnuex:

2 3x+4x≡0 [modulo21].

E X E R C IC E 2 Soitfl’application deCdansCdéfinie par :

3 2 f(z)=z+a z+b z−42+24i. oùaetbsont des éléments deC.

3 P O IN TS

4 P O IN TS

1.Détermineraetbsachant que : ½ f(1)= −44+32i f(−1)= −30+16i. 2.On suppose, dans cette question, que :a=5 etb= −8+8i. Démontrer qu’il existe un réelr, et un seul, tel quef(r)=0 et résoudre dansC alors l’équation (E) d’inconnuez:

f(z)=0. (E) On appellez 1 ,z 2 etz 3 les solutions de (E) ; on noteZle complexe

z 1 z 2 +z 2 z 3 +z 3 z 1 .

CalculerZ. Déterminer le module et un argument deZ.

P R O B L È M E La partie C du problème est indépendante des parties A et B

4 P O IN TS

Partie A SoitEun espace vectoriel euclidien orienté de dimension trois dont une base ortho ³ ´ −→−→ −→ normée directe estB=ı,,k.

1.Soitϕl’endomorphisme deE(application linéaire deEdansE) défini par  ³ ´ −→ −→ ϕı=k   ³ ´ −→−→ ϕ = − ³ ´  − →− →  ϕk=ı

Démontrer queϕest une isométrie vectorielle involutive deE. −→ −→ −→ −→ Déterminerϕ(ı+k) etϕ(ı−k). Caractériserϕ. 2.SoitΨle demitour vectoriel deE(symétrie vectorielle orthogonale par rap ³ ´ −→ port à une droite vectorielle) dont l’axe est la droite vectorielle de baseı. On désigne parθl’endomorphismeϕ◦ΨdeE.

Le baccalauréat de 1978

A. P. M. E. P.

³ ´³ ´³ ´ −→ −→ −→ a.Déterminerθı,θ etθk. b.Démontrer queθest une rotation vectorielle dont l’axeDest la droite ³ ´ −→ vectorielle de base. On désigne parPle plan vectoriel orthogonal àD. Dans la suite du pro ³ ´ −→ −→ blème le planPsera orienté :k,ıest une base orthonormée directe ; ³ ´ −→ la droite vectorielleDest alors orientée :est une base directe. Donner une mesure de l’angle de la rotation vectorielleθd’axeDorienté. Partie B Soit E un espace affine euclidien associé àE; il est rapporté au repère orthonormé ³ ´ −→−→ −→ R=O,ı,,k.

1.Soitfl’application affine de E vers E qui est associée à l’endomorphismeϕet qui transforme le point O en le point A de coordonnées (2 ; 0 ; 2). a.Définir analytiquementf. b.Démontrer quefest un vissage et quefest la composée, dans un ordre indifférent, d’un demitour affine (un demitour affine est également ap pelé un retournement) et d’une translationt; préciser l’axe du demitour affine et le vecteur de la translation. 2.Soitgl’application affine de E vers E qui est associée à l’endomorphismeψet qui laisse le point O invariant. Caractériserg. 3.Soithl’application affine de E vers E définie parh=f◦g. a.Démontrer queh=t◦r, oùtdésigne la translation définie au B 1.b. et rune rotation affine, dont on précisera l’axe (D). b.On désigne par (P) le plan affine qui contient O et dont la direction est le plan vectorielPprécédemment défini. Démontrer que (P) est globalement invariant parh. ′ c.On notehla restriction dehà (P). ³ ´ −→ −→ ′ Définir analytiquementh, (P) étant rapporté au repèreO ;k,ı. ′ Démontrer quehest une rotation affine, dont on précisera le centre I et une mesure de l’angle. ′ d.Démontrer quehest une rotation affine, dont on précisera l’axe (D ). ³ ´ −→ ′ La direction de (D ) est orientée par le choix de la base directe: don ner une mesure de l’angle de la rotationh. ′ 4.On conserve l’orientation de la droite affine (D). ′ Soit alorsWle vissage dont l’axe est (D ), dont l’angle admet pour mesureα, −→ dont le vecteur est−α . À un pointMquelconque, de coordonnées (x;y;z),Wassocie le point ¡ ¢ ′ ′′ ′ M=W(M) de coordonnéesx;y;z. Établir que l’on a  ′ x=xcosα+zsinα−2 sinα,  ′ y=y−α,  ′ z= −xsinα+zcosα−2 cosα+2. Partie C

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Le baccalauréat de 1978

⋆ 1.Soitul’application deRdansRdéfinie par +

A. P. M. E. P.

t u:t→−7u(t)=e+Logt. ⋆ Démontrer queuest une bijection deRsurR. + ⋆ 2.Soitvl’application deRdansRdéfinie par + 2t v:t−→7v(t)=te−1. Étudier les variations de la fonctionv. ′′ 3.udésigne la fonction dérivée seconde de la fonctionu. Démontrer que, dans 1 ⋆′′ R(t)=0 admet une sol + , l’équationuution uniquet 0 et que l’on a<t 0 <1. 2 ′′⋆ Étudier le signe deu(t) surR. + Partie D Dans l’espace affine euclidien E, on considère le point mobileNdont les coordon ¡ ¢ ⋆ nées, dans le repèreR, sont à l’instantt t∈R: +  x=cosu(t),  y=u(t),  z=2+sinu(t). On désigne par (C) la trajectoire deN.

1.) défini au B. 3.Démontrer que la projection orthogonale de (C) sur le plan (P b. est un cercle, que l’on précisera. 2.Quelles sont les coordonnées, à l’instantt, du pointW(N) ? En déduire que, à ¡ ¢ ⋆ tout instantt t∈R,W(N) est un point de (C). + −−→−−→ 3.Déterminer le vecteur vitesseV(tle vecteur accélération) etΓ(tpoint) du mobileNà l’instantt. 4.Étudier le sens de variation de la fonction numérique qui, au réel strictement −−−→ positif,tassocie ° V(t) ° .

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