Baccalauréat C Nantes juin

Description

Niveau: Secondaire, Lycée
[ Baccalauréat C Nantes juin 1977 \ EXERCICE 1 4 POINTS Soit f l'application, de R dans R, définie par : { x 6 0 : f (x) = e?x +1 x > 0 : f (x) = 2+ x Log x 1. Étudier la continuité et la dérivabilité de f en 0. 2. Étudier le sens de variation de f . Tracer sa courbe représentative (C ) dans un plan rapporté à un repère orthonormé ( O, ??ı , ??? ) l'axe x?Ox des abscisses est dirigé par??ı ; on précisera les branches infinies et les demi-tangentes à (C ) au point de (C ) d'abscisse nulle. 3. m étant un réel strictement positif et inférieur à 1, calculer l'aire A (m) de l'en- semble des points du plan dont les coordonnées vérifient : m6 x 6 1 et f (x)6 y 6 2. Étudier lim m?0 A (m). EXERCICE 2 4 POINTS x est un entier naturel vérifiant : 26 x 6 8 et n est un entier relatif quelconque. Un sac contient 10 boules dont x sont numérotées n et dont les (10? x) restantes sont numérotées 1. On tire simultanément deux boules du sac : les tirages ainsi faits sont supposés équi- probables. 1.

• rotations vectorielles


• phisme associé


• axe x?ox des abscisses


• abscisse nulle


• entier naturel


• endomorphisme

Sujets

• Entier naturel
• Endomorphisme

Informations

• Publié par: apmep
• Publié le: 01 juin 1977
• Nombre de lectures: 40
• Langue: Français

Extrait

[Baccalauréat C Nantes juin 1977\

E X E R C IC E 1 4 P O IN TS Soitfl’application, deRdansR, définie par : ½ −x x 6 0 :f(x)=e+1 x>0 :f(x)=2+xLogx 1.Étudier la continuité et la dérivabilité defen 0. 2.Étudier le sens de variation def. Tracer sa courbe représentative (C) dans un ³ ´ −→−→ ′ plan rapporté à un repère orthonorméO,ı,l’axexOxdes abscisses est −→ dirigé parı; on précisera les branches infinies et les demitangentes à (C) au point de (C) d’abscisse nulle. 3.métant un réel strictement positif et inférieur à 1, calculer l’aireA(m) de l’en semble des points du plan dont les coordonnées vérifient :

Étudier limA(m). m→0

m 6 x 6 1 etf(x) 6 y 6 2.

E X E R C IC E 2 4 P O IN TS xest un entier naturel vérifiant : 2 6 x 6 8 etnest un entier relatif quelconque. Un sac contient 10 boules dontxsont numérotéesnet dont les (10−x) restantes sont numérotées 1. On tire simultanément deux boules du sac : les tirages ainsi faits sont supposés équi probables.

1.Définir un espace probabilisé fini (Ω,P(n),p) permettant de décrire l’épreuve. 2.On envisage la variable aléatoire réelle X qui, à tout événement élémentaire, associe la somme des nombres inscrits sur les boules tirées. Préciser l’image de n par X, et définir la loi de probabilité de X. 3.Calculer, en fonction dexetn, l’espérance mathématique E(X) deX. 4.Dans cette question on choisitnégal à (−4) : calculer la variance de X.

P R O B L È M E 12 P O IN TS Soit E un espace affine euclidien orienté de dimension 3 ; on désigne par V l’espace vectoriel (surR) associé à E. ³ ´ −→−→ −→ O,ı,,kdésigne un repère orthonormé direct de E. Fétant une partie non vide de E ou de V, on notera I F l’identité sur F ; en particulier l’identité I V sera simplifiée en I. Étant donné un sousespace vectoriel U de V, on noteraL(U) l’ensemble des endo morphismes de U, c’estàdire l’ensemble des applications linéaires de V dans V. −→ Dest la droite vectorielle de V engendrée parketPest le plan vectoriel orthogonal −→ àD.Dest orientée park;Pse trouve donc ainsi orienté.

Partie A

Le baccalauréat de 1977

A. P. M. E. P.

On noteφl’ensemble des isométries vectoriellesϕde V qui vérifient les conditions : ( ³´ −→−→ ϕk=k ϕ◦ϕ◦ϕ=I 1.Démontrer que tout élément deφest une rotation vectorielle. On désigne parJla rotation vectorielle dont l’axe estDet dont l’angle mesure 2π ; démontrer queφest l’ensemble {I,J,K} avecK=J◦J. 3 2.On considère l’endomorphisme somme des trois éléments deφ; caractériser les restrictions de cet endomorphisme respectivement àPetD; décrire cet endomorphisme comme le composé de deux endomorphismes simples de V. 3.Démontrer que I etL=J+Kengendrent un plan vectoriel de l’espace vectoriel L(V ).αetβétant deux réels, on noteraf α,β l’endomorphismeαI+βL(on −→ rappelle que les endomorphismesαI etβLassocient à tout vecteurvde V respectivement les vecteurs ³ ´³ ´³ ´ −→−→−→−→ (αI)v=vet (βL)v=β∙L v.

Partie B On noteGl’application affine de E vers E qui laisse O invariant et dont l’endomor phisme associé estf 0,−1 . 1. a.Définir analytiquementG. b.Démontrer que l’ensemble des points invariants parGest le plan P conte nant O et de directionP. c.Métant un point de E, on désigne parmle projeté orthogonal deMsur P. −→−−−−→−−− Vérifier la relation :mG(M)= −2m M. 2.Déterminer les plans de E invariants parG; caractériser la restriction deGà un tel plan distinct de P. 3.aétant un réel non nul, on envisage le cercle (C) du plan d’équationx=0, qui passe par O et dont le centre est le pointΩ(0 ;a; 0). Démontrer que l’image (Γ) de (C) parGest une conique dont on précisera la nature et les éléments géométriques (centre, axes, foyers, . . . ). Construire (C) et (Γ) dans le cas particulier :a=2. Partie C Soit A un point de E. Étant donnés deux réelsαetβ, on noteF α,β , l’application affine de E vers E qui laisse A invariant et dont l’endomorphisme associé estf α,β . On désigne parFl’ensemble des applicationsF α,β αetβdécrivantR. QetDdésignent les variétés affines de E contenant A et de directions respectivesP etD.

1.Démontrer que les restrictions def α,β àPet àDsont respectivement :

(α−β)I et(α+2β)I P D En déduire les restrictions deF α,β àQet àDrespectivement. 2.Déterminer les éléments deFqui sont des isométries. 3.Préciser la nature et les éléments caractéristiques des applicationsF 2 1 et ,− 3 3 F 1 1 . , 3 3

Nantes

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Le baccalauréat de 1977

A. P. M. E. P.

1 4.αétant un réel non nul distinct de, démontrer queF α,α est la composée de 3 deux applications affines simples que l’on précisera. 5.αetβdésignent deux réels distincts. ′ a.Métant un point de E, on noteMetmses images respectives parF α β , α−β α−β et par la projection orthogonale surQ. Démontrer qu’il existe un réelk, que l’on précisera, tel que, quel que soit M, on ait : −−−→ −−−→ ′ m M=k m M. b.Démontrer queF α,β est la composée deF α et d’une homothétie β , α−β α−β que l’on caractérisera.

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