Baccalauréat C Nice juin

Description

Niveau: Secondaire, Lycée
[ Baccalauréat C Nice juin 1983 \ EXERCICE 1 4 POINTS Dans le plan affine euclidien (P), ondonneun triangle équilatéral ABC tel que ? ? ? ???AB ? ? ?= ? ? ? ???OC ? ? ?= ? ? ? ???CA ? ? ?= 1. Soit A? le milieu du segment [BC]. 1. Montrer que le milieu G du segment [AA?] est le barycentre de A, B, C, respec- tivement affectés des coefficients 2, 1, 1. 2. Soit h l'application de (P) dans (P) qui, à tout point M de (P), associe le point M ? de (P) tel que : ????? MM ? = 2???MA +???MB +???MC . Montrer que h est une homothétie affine dont on précisera le centre et le rap- port. Calculer 2GA2 + GB2 + GC2. Trouver l'ensemble des points Nde (P) tels que : 2NA2+NB2+NC2 = 2. EXERCICE 2 4 POINTS PROBLÈME 12 POINTS Partie A SoitU la fonction de R dans R définie par : ?x ?R, U (x)= x2e?x2 . 1. Étudier U et tracer la courbe représentative de U dans le plan rapporté à un repère orthonormé ( O, ??ı , ??? ) (unité : 6 cm).

• droites d'équations respectives


• constante indépendante de ?


• famille libre de ?


• ???oc ?


• image de ?


• e?t2 dt

Informations

• Publié par: apmep
• Publié le: 01 juin 1983
• Nombre de lectures: 26
• Langue: Français

Extrait

[Baccalauréat C Nice juin 1983\

E X E R C IC E 1 4 P O IN TS ° −→ Dans le plan affine euclidien (P), on donne un triangle équilatéral ABC tel que ° AB ° = −→−→ ° OC ° = ° CA ° =1. ′ Soit Ale milieu du segment [BC]. ′ 1.Montrer que le milieu G du segment [AA ] est le barycentre de A, B, C, respec tivement affectés des coefficients 2,1, 1. 2.Soithl’application de (P) dans (P) qui, à tout pointMde (P), associe le point ′ Mde (P) tel que : −−−→ −−→−−→−−→ ′ M M=2MA+MB+MC . Montrer quehest une homothétie affine dont on précisera le centre et le rap port. 2 2 2 Calculer 2GA+ GB+ GC. Trouver l’ensemble des points Nde (P) tels que :

E X E R C IC E 2

P R O B L È M E

2 2 2 2NA+NB+NC=2.

Partie A SoitUla fonction deRdansRdéfinie par : 2 2−x ∀x∈R,U(x)=xe .

4 P O IN TS

12 P O IN TS

1.ÉtudierUet tracer la courbe représentative deUdans le plan rapporté à un ³ ´ −→−→ repère orthonorméO,ı,(unité : 6 cm). 2.Soitrla restriction deUà l’intervalle J = [1 ;+∞[. ¸ ¸ 1 a.Montrer querest une bijection de I sur l’intervalle J=0 ;. e −1−1 b.On désigne parrla bijection réciproque der(on n’explicitera pasr). ³ ´ −→−→ −1 Représenter graphiquementrO,dans le repèreı,. −1 c.Étudier la dérivabilité dersur J. Partie B Dans toute la suite, E désigne l’espace vectoriel des fonctions continues deRdansR muni de l’addition des fonctions et de la multiplication des fonctions par un réel. On noteϕl’application de E dans E qui, àfélément de E, asssocieF=ϕ(f) définie par : Z x 2 −t ∀x∈R,F(x)=f(t)e dt. 0

Le baccalauréat de 1983

A. P. M. E. P.

1.Montrer queϕest un endomorphisme de E. 2.Montrer que, pour toute fonctionfde E,Fest dérivable surRet en 0 ; expri ′ merF(x) en fonction def(x). En déduire queϕest injectif. 3. a.Soitgune fonction de E, qui s’annule en 0, dérivable surRà dérivée continue. On désigne parhla fonction définie surRpar : 2 ′x ∀x∈R,h(x)=g(x)e Montrer queϕ(h)=g; en utilisant les résultats des questions 2. et 3. a, caractériser l’image deϕ. b.Déterminer les antécédents des fonctionsU,V,Wdéfinies surRpar 2 22 2−x−x−x ∀x∈R,U(x)=xe ;V(x)=e ;W(x)=xe . ¡ ¢ 4.SoitP 2 le sousespace vectoriel de E dont une base estf 0 ,f 1 ,f 2 ;f 0 ,f 1 ,f 2 sont définies par :

2 ∀x∈R,f 0 (x)=1;f 1 (x)=x;f 2 (x)=x. ¡ ¢ a.Montrer quef 0 , 2f 1 ,f 0 −2f 2 est une base deP 2 ¡ ¡ ¢¢ b.En déduire queϕf 0 ,V,West une famille libre deϕ ( P 2 ). Montrer ¡ ¡ ¢¢ ¡¢ queϕf 0 ,V,West une base deP 2 (On ne calculera pasϕf 0 . Partie C Pournentier naturel etxréel, on pose : Z Z x x 2 2 n−t−t I n (x)=te dtpourn > 1 etI 0 =e dt. 0 0

1. a.À l’aide d’une intégration par parties, montrer que pour tout entier su périeur ou égal à 2 et tout réelxon a l’égalité : 2 n−1−x (n−1)I n−2 (x)−2I n (x)=xe .

b.CalculerI 1 (x) ; en déduireI 3 (x). c.CalculerI 2 (x) en fonction deI 0 (x) que l’on ne calculera pas. 2.On désire prouver qu’il existe un réelAtel que :

Nice

∀x∈R + , 0 6 I 0 (x) 6 A. ⋆ parx: a.Montrer que la fonction, définie surR + →−7I 0 (x) est croissante et positive. Z x 2 −t b.Montrer que :I 0 (x)−I 0 (1)=e dt 1 c.Montrer que :

2 −t−t ∀t∈[1 ;+∞[, e 6 e . En déduire que : 1 1 −x ∀x∈[1 ;+∞[,I 0 (x)−I 0 (1) 6 −e 6 . e e

2

juin 1983

Le baccalauréat de 1983

d.Trouver alors un réelAtel que :

A. P. M. E. P.

⋆ ∀x∈R + ,I 0 (x) 6 A. 3.an compriseDéduire des questions 1. c et 2. d que l’aire de la portion de pl entre les droites d’équations respectivesx=0,x=λ(λ>0), l’axe desxet la courbe représentative de la fonctionUétudiée au A, est majorée par une constante indépendante deλ.

Nice

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