Baccalauréat C Nice juin

Description

Niveau: Secondaire, Lycée
[ Baccalauréat C Nice juin 1979 \ EXERCICE 1 4 POINTS On considère la fonction numérique d'une variable réelle f définie par f (x)= log ( 2+ 1 x ) où log désigne le logarithme népérien. 1. Étudier les variations de f et construire sa courbe représentative (C ) dans un repère orthonormé ( O, ??ı , ??? ) . (On donne log2≈ 0,7). 2. Montrer que la fonction x 7?? Log(2+ x)?Log2 x admet pour limite12 en 0. 3. Calculer, à l'aide d'une intégration par parties, l'aire A (?) de la portion du plan comprise entre la courbe (C ), la droite d'équation y = Log2, et les droites d'équations respectives x = ?1 et x = ? où ? est un nombre réel strictement inférieur à ?1. Déterminer la limite éventuelle de A (?) quand ? tend vers ?∞. EXERCICE 2 3 POINTS C désigne le corps des nombres complexes et A le point du plan complexe d'affixe z = a+ ib (a ?R, b ?R). On considère l'équation : z2+ (1?b)z+a = 0. 1. Déterminer une condition nécessaire et suffisante portant sur a et b, pour que l'équation admette une racine double.

• ar- gument pi9


• droites d'équations respectives


• racine double


• point du plan complexe d'affixe z

Informations

• Publié par: apmep
• Publié le: 01 juin 1979
• Nombre de lectures: 34
• Langue: Français

Extrait

[Baccalauréat C Nice juin 1979\

E X E R C IC E 1 4 P O IN TS On considère la fonction numérique d’une variable réellefdéfinie par µ ¶ 1 f(x)=log 2+ x où log désigne le logarithme népérien. 1.Étudier les variations defet construire sa courbe représentative (C) dans un ³ ´ −→−→ repère orthonorméO,ı,. (On donne log 2≈0, 7). Log(2+x)−Log 21 2.Montrer que la fonctionx−→7en 0.admet pour limite x2 3.Calculer, à l’aide d’une intégration par parties, l’aireA(λ) de la portion du plan comprise entre la courbe (C), la droite d’équationy=Log2, et les droites d’équations respectivesx= −1 etx=λoùλest un nombre réel strictement inférieur à−1. Déterminer la limite éventuelle deA(λ) quandλtend vers−∞.

E X E R C IC E 2 3 P O IN TS Cmplexe d’affixedésigne le corps des nombres complexes et A le point du plan co z=a+ib(a∈R,b∈R). On considère l’équation :

2 z+(1−b)z+a=0. 1.Déterminer une condition nécessaire et suffisante portant suraetb, pour que l’équation admette une racine double. Représenter dans le plan complexe l’ensemble (Γ) des points A (d’affixea+ib) correspondants. 2.Préciser suivant le position du point A dans le plan la nature des racines de l’équation.

P R O B L M E

13 P O IN TS

Partie A Soita,b,ctrois nombres réels. On notefl’application deRdansRdéfinie par ³ ´³ ´ πxπx ∀x∈R,f(x)=acos+bsin+c. 2 2 1. a.Démontrer par récurrence que

³ ´h ³´ ³´i n π ππ ππ ⋆(n) ∀n∈N,∀x∈R,f(x)=acosx+n+bsinx+n 2 22 22 (n) sachant quefdésigne la fonction dérivéenième def. 1 ⋆(2n) b.On pose∀n∈N,u n =f(0). n 4 ) ,es ⋆ Calculeru 1 . Montrer que la suite (u n n ∈N t une suite géométrique de 2 π raison−. 16 Calculer, si elle existe,lim (u 1 +u 2 + ∙ ∙ ∙ +u n ) en fonction dea. n→+∞

Le baccalauréat de 1979

A. P. M. E. P.

2 2.On posea=4α,b=7β,c= −. 2 Écrire l’expression def(x). µ ¶ 1 2 Déterminer l’ensemble des couples (α,β) appartenant àZtels quef=0. 2 3.On posea=1,b=c=0 et on noteϕla restriction defà [0 ; 2]. Écrire l’expres sion deϕ(x). a.Montrer queϕadmet une fonction réciproqueψ. b.Quel est l’ensemble de définition deψ? Préciser son sens de variation et tracer sa représentation graphique dans un repère orthonormé. c.Sur quel ensembleψestelle dérivable ? Z 1 2 4.On posea=c=0,b=1. Écrire l’expression def(x[). Calculerf(x)] dx. 0 5.On appellef 1 la fonctionfobtenue poura=1,b=c=0. On appellef 2 la fonctionfobtenue poura=c=0,b=1. On considère µ ¶µ ¶ 4 4 X X 4k4k S 1 =f 1 etS 2 =f 2 . 9 9 k=0k=0 a.ExprimerS 1 +iS 2 en fonction du nombre complexezde module 1 et d’ar π gument . 9 b.En déduireS 1 . Partie B On note E l’ensemble des fonctionsf a,b,c deRdansRdéfinies par ³ ´³ ´ π π ∀x∈R,f a,b,c (x)=acosx+bsinx+c 2 2 3 avec (a,b,c) appartenant àR.

1.On rappelle que l’ensemble des fonctions deRdansR, muni de l’addition et de la multiplication par un réel, est un espace vectoriel surR. Cet ensemble sera notéF. a.Montrer queEest un sousespace vectoriel deF. b.Déterminer la dimension deE. 1 2.On notef•g[2le réelf(0)g(0)+f(1)g(1)+f(−1)g(−1)]. 4 E×E→R a.Montrer que l’application :est un produit scalaire (f,g)7→−f•g surE. Dans toute la suite, on considéreraEmuni de ce produit scalaire ; le réel f•fsera notékfk. b.Soit les fonctions :

Nice

e 1 :R→Re 2 :R→R ³ ´ p π x7−→1x−7→2 sinx 2 e 3 :R→R ³ ´ π x→−7−2 cosx+1 2 Montrer que (e 1 ,e 2 ,e 3 ) est une base orthonormée de E. Montrer que :

2

juin 1979

Le baccalauréat de 1979

A. P. M. E. P.

³ ´ a b2a f a,b,c = +c e 1 +e 2 −e 3 . 2 22 En déduire que : µ ¶ ³ ´ ′ ′′ a abb aa ′ f a,b,c •f a,b = +c+c+ +. ′ ′ ′ ,c 2 22 4 3.On suppose que E est orienté et que (e 1 ,e 2 ,e 3 ) est une base orthonormée di recte. Soitτl’endomorphisme de E défini par  τ ( e 1 ) =f 0, 0, 1   τ ( 2 ) =f 6 1 e −1, , 2 2  p p  τ ( e 3 ) =f 2 3 −3,−, 2 2 Montrer queτest une isométrie vectorielle dont on déterminera la nature et les éléments caractéristiques. 4.SoitPun plan affine euclidien rapporté à un repère orthonormé (R). Déterminer l’ensembleΓdes pointsMde coordonnées (x;y) dans (R) tels que les vecteursf y,x, 1 etfde E soient orthogonaux. y 2 2y,x,− 3 2 Représenter cet ensemble dans (R).

Nice

3

juin 1979