Baccalauréat C Nice septembre

Description

Niveau: Secondaire, Lycée
[ Baccalauréat C Nice septembre 1979 \ EXERCICE 1 4 POINTS On considère la fonction numérique d'une variable réelle, f définie par f (x)= 1ex?Log x où e est la base du logarithme népérien, noté Log. 1. Étudier les variations de f et construire sa courbe représentative (C ) dans un repère orthonormé. 2. Soit ? un nombre réel tel que 0< ?< e. Calculer l'aire A (?) du domaine plan déterminé par la courbe (C ), l'axe des x, et les droites d'équations respectives x = ? et x = e. 3. Déterminer la limite éventuelle de A (?) lorsque ? tend vers 0 par valeurs su- périeures. EXERCICE 2 4 POINTS On joue avec deux dés cubiques non pipés. Les faces de l'un sont marquées : 0, 0, pi3 , pi 3 , 4pi 3 , 4pi 3 . Les faces de l'autre : 0, 0, pi6 , pi 6 , pi 2 , pi 2 .On lance les deux dés simultanément. On appelle ? et ? les nombres qui appa- raissent sur les faces supérieures, et on appelle X la variable aléatoire réelle qui à chaque lancer associe le réel sin(?+?). 1. Quelles sont les valeurs prises par X ? (On pourra présenter les résultats sous forme de tableau).

• raissent sur les faces supérieures


• point mobile


• droites d'équations respectives


• courbe


• symétrie d'axe ox


• repère


• base des logarithmes népériens


• variable réelle

Sujets

• Courbe
• Repère

Informations

• Publié par: apmep
• Publié le: 01 septembre 1979
• Nombre de lectures: 45
• Langue: Français

Extrait

[Baccalauréat C Nice septembre 1979\

E X E R C IC E 1 4 P O IN TS On considère la fonction numérique d’une variable réelle,fdéfinie par 1 f(x)=x−Logx e où e est la base du logarithme népérien, noté Log. 1.Étudier les variations defet construire sa courbe représentative (C) dans un repère orthonormé. 2.Soitλun nombre réel tel que 0<λ<e. Calculer l’aireA(λ) du domaine plan déterminé par la courbe (C), l’axe des x, et les droites d’équations respectivesx=λetx=e. 3.Déterminer la limite éventuelle deA(λ) lorsqueλtend vers 0 par valeurs su périeures.

E X E R C IC E 2 4 P O IN TS On joue avec deux dés cubiques non pipés. π π4π4π Les faces de l’un sont marquées : 0, 0,, ,, . 3 33 3 π π π π Les faces de l’autre : 0, 0,, , , . 6 6 2 2 On lance les deux dés simultanément. On appelleαetβles nombres qui appa raissent sur les faces supérieures, et on appelle X la variable aléatoire réelle qui à chaque lancer associe le réel sin(α+β).

1.Quelles sont les valeurs prises par X? (On pourra présenter les résultats sous forme de tableau). 2.Établir la loi de probabilité de X, et calculer son espérance mathématique, sa variance et son écarttype.

P R O B L È M E ³ ´ −→−→ Soit E un plan affine rapporté à un repèreO,ı,.

12 P O IN TS

Partie A Soitg t l’application affine de E dans E, qui au pointMde coordonnées (x;y) associe ′ ′ le point M’ de coordonnées (x;y) tel que : ( ′ x=xcost+2ysint. 1 ou test un nombre réel ′ y=xsint−ycost 2 1.Démontrer queg t est involutive et que c’est une symétrie dont on détermi nera les éléments géométriques. 2.Soitsla symétrie d’axe Ox, de direction Oy. Déterminer analytiquementg t ◦s. Partie B

Le baccalauréat de 1980

A. P. M. E. P.

Soitf t l’application affine de E dans E, qui au pointMde coordonnées (x;y) associe ¡ ¢ ′ ′′ le pointMde coordonnéesx;ytel que : ( ′ x=xcost−2ysint. 1 ou test un nombre réel ′ y=xsint+ycost 2 On appelleFl’ensemble des applicationsf t pourtélément deR.

1.Soitϕl’application définie par :

ϕ:R→F t→−7f t Démontrer queϕest un homomorphisme surjectif de (R,+) dans (F,◦). Démontrer que (F,◦) est un groupe commutatif. Quelle est l’application ré ciproque def t ? 2.Déterminer l’ensembleKdes nombres réelsttels que

ϕ(t)=id E (id E est l’application identique de E dans E). ′ Quelle relation doit exister entretettpour quef t =f t ? ′ 3.ndésignant un entier naturel non nul, on pose : ½ 1 f=f t t n n−1 f=f◦f t ∀n > 2 t t ⋆n Démontrer que :∀n∈N,f=f nt . t 3 On donne àtla valeurt 0 =2π. 5 n Trouver le plus petit entierntel quef=id E . t 0 3 4.On a toujourst 0 =2π. 5 On appelleΓl’ensemble des cinq points {M 0 ,M 1 ,M 2 ,M 3 ,M 4 } oùM 0 a pour ¡ ¢ coordonnéesx 0 ;y 0

M 1 =f t 0 ( M 0 ) M=f 2t 0 ( M 1 ) f M 3 = t 0 ( M 2 ) =f M 4t 0 ( M 3 ) a.Démontrer queΓest stable parf t . 2 22 b.On appelle (C a ) la courbe d’équationx+4y=a,aétant un nombre réel. Démontrer que, quel que soittappartenant àR, (C a ) est invariante par f t . c.Démontrer queΓest contenu dans la courbe (C a ) pour la valeur 2 2 a=x+4y. 0 0 Partie C ³ ´ −→−→ Dans cette partie, on suppose E euclidien et le repèreO,ı,orthonormé.

3 2 2 1.Dans cette questiona=x+4yett 0 =2π. 0 0 5 Écrire l’équation de la tangente à (C a ) au pointM 0 . Quelle est l’image de cette tangente parf t ?

Nice

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septembre 1979

Le baccalauréat de 1980

A. P. M. E. P.

2.Soit A le point de coordonnées (1 ; 0) et soitM t l’image de A parf t . Déterminer l’ensemble (G) des pointsM t lorsquef t varie dansF. Représenter (G). Partie D F est un espace affine euclidien de dimension trois, rapporté à un repère ortho ³ ´ −→−→ −→ normé O,ı,,k. Soit P le point mobile dont les coordonnées (x;y;z) sont à l’instantt  x=cost   1 oùtappartient àR y=sint 2 3   z=sint 2 Montrer que la trajectoire de P est un cercle, intersection d’une sphère (Σ) et d’un plan (π) à déterminer. Quelle est la nature du mouvement de P ?

Nice

3

septembre 1979