Baccalauréat C Nouvelle-Calédonie
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Description

Niveau: Secondaire, Lycée
Durée : 4 heures [ Baccalauréat C Nouvelle-Calédonie \ novembre 1993 EXERCICE 1 5 points On se propose de calculer l'intégrale : J = ∫1 0 xex (1+ex )3 dx. 1. Calculer les deux intégrales : A = ∫1 0 ex 1+ex dx. B = ∫1 0 ex (1+ex )2 dx. 2. Déterminer trois nombres réels a, b et c tels que pour tout nombre réel t po- sitif ou nul on ait : 1 (1+ t)2 = a+ bt 1+ t + ct (1+ t)2 (1). 3. En posant t = ex dans l'égalité (1), calculer l'intégrale : I = ∫1 0 1 (1+ex )2 dx. 4. a. À l'aide d'une intégration par parties exprimer J en fonction de I . b. En déduire la valeur de I . À l'aide de la calculatrice donner une valeur approchée de J à 10?2 près. EXERCICE 2 4 points Enseignement obligatoire Onconsidère, dans le planorienté rapporté au repère orthonormal direct ( O, ??u , ??v ) , la courbe (C ) d'équation xy?2x?3y?1= 0, et la transformation f du plan, qui, au point M d'affixe z, associe le point M ? d'affixe z ? tel que 1- i z ? = 1? i2 z?2+2i.

  • coordonnées du centre et des sommets

  • repère orthonor- mal

  • repère

  • planorienté rapporté au repère orthonormal direct


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Publié le 01 novembre 1993
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Langue Français

Exrait

Durée : 4 heures
[Baccalauréat C NouvelleCalédonie\ novembre 1993
EX E R C IC E1 5points On se propose de calculer l’intégrale : Z 1x xe J=dx. x3 0(1+e ) 1.Calculer les deux intégrales : Z 1x e A=dx. x 01+e Z 1x e B=dx. x2 0(1+e ) 2.Déterminer trois nombres réelsa,betctels que pour tout nombre réeltpo sitif ou nul on ait :
1b tc t =a+ +(1). 2 2 (1+t) 1+t(1+t) x 3.En posantt=l’égalité (1), calculer l’intégrale :e dans Z 1 1 I=dx. x2 0(1+e ) 4. a.À l’aide d’une intégration par parties exprimerJen fonction deI. b.En déduire la valeur deI. À l’aide de la calculatrice donner une valeur 2 approchée deJprès.à 10
EX E R C IC Epoints2 4 Enseignement obligatoire ³ ´ On considère, dans le plan orienté rapporté au repère orthonormal directO,u,v, la courbe (C) d’équationx y2x3y1=0, et la transformationfdu plan, qui, au ′ ′ pointMd’affixez, associe le pointMd’affixeztel que 1 i 1i z=z2+2i. 2 1.Montrer quefadmet un point invariant unique que l’on déterminera. Reconnaître la nature de la transformationfet donner ses éléments caracté ristiques. ¡ ¢ ′ ′ 2.Exprimer les coordonnées (x;y) deMen fonction des coordonnéesx;y deM. 3.Montrer que l’image de la courbe (C) par la transformationfest la courbe (C) d’équation
22′ ′ xyx+3y9=0.
Baccalauréat C
A. P. M. E. P.
4.Montrer que la courbe (C) est une hyperbole dont on donnera, dans le repère ³ ´ O,u,v, les coordonnées du centre et des sommets. Représenter (C) dans ³ ´ le repèreO,u,v.
PR O B L È M E11 points Le but de ce problème est l’étude d’une fonction et le calcul ou l’encadrement de quelques nombres qui lui sont attachés. Soitfla fonction numérique définie sur l’intervalle ]0 ;+∞[ par : 1 f(x)=x+lnxxlnx. 8 On note (C) la courbe représentative defdans le plan muni d’un repère orthonor ³ ´ mal O,ı,en prenant 2 cm comme unité graphique.
Partie A Étude du signe de la dérivée def ′ ′′ 1.Calculerf(x) etf(x). 2.Prouver que l’équationf(x)=0 admet une solution unique. On noteαcette solution. Justifier que 16α61, 2. 3.Déterminer le signe def(x) suivant les valeurs dex. Partie B Étude et représentation graphique de la fonctionf 1.Calculer les limites defen zéro et en+∞. Donner le tableau des variations de f. 2.Prouver que :
′ ′ 06f(α)f(1)6f(1).(α1)60, 2.f(1). En déduire un encadrement def(α). 3.Tracer la courbe (C). Partie C Approximation deα Soitgla fonction définie sur ]0 ;+∞[ par :
1 g(x)=e . 8x 1.Prouver queg(α)=α. Déduire du sens de variation degque pour tout élémentxde l’intervalle [1 ; 1,2],g(x) appartient encore à cet intervalle. 2.Soit (un) la suite d’éléments de [1 ; 1,2] définie par :
u0=1 etun+1=g(untout entier naturel) pourn. a.Prouver que pour tout entier natureln, on a :
NouvelleCalédonie
|un+1α|60, 15|unα|.
2
novembre 1993
Baccalauréat C
b.Démontrer que la suite (un) converge versα. c.Établir que :
5 |u6α|610 .
A. P. M. E. P.
Calculeru6à l’aide de la calculatrice (on donnera la partie entière et les cinq premières décimales).
NouvelleCalédonie
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novembre 1993