Baccalauréat C Nouvelle Calédonie décembre

Description

Niveau: Secondaire, Lycée
[ Baccalauréat C Nouvelle-Calédonie \décembre 1997 EXERCICE 1 4 POINTS Un artisan est contacté à domicile par ses clients sur appel téléphonique et dispose d'un répondeur. Quand l'artisan est absent, il branche systématiquement son répondeur. Quand il est présent, il le branche une fois sur trois. Quand un client téléphone, il a quatre chances sur cinq d'obtenir le répondeur et une chance sur cinq d'obtenir l'artisan. On note P (E ) la probabilité d'un évènement E et p(E/F ) la probabilité condition- nelle de E sachant F . Un client téléphone à l'artisan. On note : R l'évènement « le client obtient le répondeur » ; A l'évènement « l'artisan est présent » ; A l'évènement contraire de A ; 1. Déterminer la probabilitéP (R), ainsi que les probabilités conditionnelleP (R/A) et P ( R/A ) . 2. a. Exprimer P (R) en fonction de P (R/A), P ( R/A ) et P (A). b. Endéduire l'égalité 45 =? 2 3P (A)+1 et calculer la probabilité que l'artisansoit présent. 3. Un client téléphone ; il obtient le répondeur. Déterminer la probabilité que l'artisan soit présent. EXERCICE 2 5 POINTS 1.

• nature du triangle oij


• tangente àc au point?


• courbe paramé- trée


• argument de z


• figure de la question


• clients sur appel téléphonique


• repère orthonormal direct

Informations

• Publié par: apmep
• Publié le: 01 décembre 1997
• Nombre de lectures: 52
• Langue: Français

Extrait

[Baccalauréat C NouvelleCalédonie\ décembre 1997

E X E R C IC E 1 4 P O IN TS Un artisan est contacté à domicile par ses clients sur appel téléphonique et dispose d’un répondeur. Quand l’artisan est absent, il branche systématiquement son répondeur. Quand il est présent, il le branche une fois sur trois. Quand un client téléphone, il a quatre chances sur cinq d’obtenir le répondeur et une chance sur cinq d’obtenir l’artisan. On noteP(E) la probabilité d’un évènementEetp(E/F) la probabilité condition nelle deEsachantF. Un client téléphone à l’artisan. On note : Rl’évènement « le client obtient le répondeur » ; Al’évènement « l’artisan est présent » ; Al’évènement contraire deA; 1.Déterminer la probabilitéP(R), ainsi que les probabilités conditionnelleP(R/A) ³ ´ etP R/A. ³ ´ 2. a.ExprimerP(R) en fonction deP(R/A),P R/AetP(A). 4 2 b.En déduire l’égalité= −P(A)+1 et calculer la probabilité que l’artisan 5 3 soit présent. 3.; il obtient le répondeur. Déterminer la probabilité queUn client téléphone l’artisan soit présent.

E X E R C IC E 2 1.On considère l’équation d’inconnue complexez:

5 P O IN TS

2 z+2z3+4=0. Résoudre cette équation dans l’ensembleCdes nombres complexes. Écrire les solutions sous forme trigonométrique. ³ ´ −→−→ 2.O,Le plan complexe est rapporté à un repère orthonormal directu,v(unité graphique : 2 cm). p Les points I et J du plan ont pour affixes respectives :z I = −3+i etz J = −3−i. a.Tracer le cercle de centre O et de rayon 2, et placer les points I et J sur la figure. b.Montrer que le point J est l’image du point I par la rotation de centre O π et d’angle. 3 c.En déduire la nature du triangle OIJ. 3.Soit B le milieu du segment [OI]. a.Déterminer l’affixe du point B et placer le point B sur la figure. b.Préciser la nature du triangle JBO. −→ 1 −→ 4.Soit A le point du plan défini par l’égalité vectorielle BA= −OJ . 2

Le baccalauréat de 1998

A. P. M. E. P.

a.Déterminer l’affixe du point A et placer le point A sur la figure. b.Vérifier que le point A est l’image du point B par la rotation de centre O π et d’angle−. 3 c.ctés deMontrer que le point A est le barycentre des points J, O, B affe coefficients que l’on déterminera.

E X E R C IC E 2 5 P O IN TS Enseignement de spécialité ³ ´ −→−→ Le plan complexePest muni d’un repère orthonormal directO,u,v(unité gra phique : 15 cm). Soittun nombre réel positif. On noteM(t) le point dePde coor données (x(t) ;y(t)) définies par :  ³´ π t −  2 x(t)=e cost ³ 2 ´ t π  − y(t)=e sint. 2 2 Quandtvarie dans l’intervalle [0 ;+∞[, le pointM(t) parcourt une courbe paramé trée notéeΓ. On a représenté sur la figure donnée, la partie deΓcorrespondant aux valeurs det appartenant à l’intervalle [0 ; 6]. Le but de l’exercice est d’étudier des propriétés géométriques de certains points de Γ. 1. a.Exprimer en fonction det, l’affixez(t) du pointM(t). b.Préciser le module et un argument dez(t). 2.Tracer les pointsM(0),M(1),M(2),M(3) etM(4) sur la figure donnée en an nexe. a.Pour tout nombre réelt > 0, exprimerz(t+1) en fonction dez(t). En déduire queM(t+1) est l’image deM(t) par la similitude directe de 1π centre O, de rapportet d’ angle. On notescette similitude. e 2 b.Pour tout nombre réelt > 0, exprimerz(t+2) en fonction dez(t). Justifier queM(t+2) est l’image deM(t) par une homothétiehdont on précisera les éléments caractéristiques. 3.Les affirmations suivantes sontelles vraies ou fausses? Justifier chaque ré ponse. a.Les pointsM(2) eth(M(0)) sont confondus. b.Les pointsM(1) etM(3) sont symétriques par rapport au point O. c.Les pointsM(n), oùnest un entier naturel, sont les points d’intersection deΓavec les axes de coordonnées. 1

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O

2

Γ

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Le baccalauréat de 1998

A. P. M. E. P.

P R O B L È M E 11 P O IN TS On considère les fonctionsfetgdéfinies surRpar : 1 1 f(x)=etg(x)= x−x 1+e 1+e On noteCetΓles courbes représentatives des fonctionsfetgdans un repère or ³ ´ −→−→ thonormal O,ı,(unité graphique 4 cm).

A. Étude des fonctionsfetg 1. a.Étudier les variations defsurR. b.Calculer les limites defen+ ∞ et− ∞. Préciser les éventuelles asymp totes àC. µ ¶ 1 c.Prouver que le pointΩest centre de symétrie dede coordonnées0 ; 2 C. d.On noteTla tangente àCau pointΩ. Déterminer le coefficient directeur deT. e.ReprésenterTetC. 2. a.En observant que, pour tout nombre réelx, on ag(x)=f(−x) , montrer queΓest l’image deCpar une symétrie que l’on déterminera. b.Vérifier que, pour tout nombre réelx, on af(x)+g(x)=1. En déduire queΓest l’image deCpar une autre symétrie que l’on déterminera. ′ c.Déterminer le c ?fficient directeur de la tangenteTàΓau pointΩ. ′ d.ReprésenterTetΓsur la figure de la question 1. B. Calcul d’une aire Z Z 1 1 On noteI=f(t) dtetJ=g(t) dt. 0 0 1.En utilisant l’égalité de la question A. 2. b., calculerI+J. 1 2. a.Montrer que, pour tout nombre réelt, peuts’écrire sous la forme −t 1+e t e . t e+1 b.En déduire une primitiveGdegsurR, puis la valeur deJ. 3.Calculer la valeur deI. 4. a.Prouver que, pour tout nombre réelxappartenant à [0 ;+∞[,f(x) 6 g(x). b.On noteΔl’ensemble des points du plan dont les coordonnées (x;y) vérifient ½ 0 6 x 6 1, f(x) 6 y 6 g(x) 2 On noteAl’aire, exprimée en cm, du domaineA. ExprimerAen fonc −2 tion deIetJ. Donner une approximation décimale deAprès.à 10 C. Étude d’une fonction définie par une intégrale

On considère les fonctionshetHdéfinies sur [0 ;+∞[ par : Z x ¡ ¢ x−x h(x)=1e ln+e etH(x)=h(t) dt. 0

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Le baccalauréat de 1998

A. P. M. E. P.

1. a.Montrer que, pour tout nombre réelxappartenant à [0,+ ∞[h(x) est strictement positif. b.En déduire queHest strictement croissante sur [0,+ ∞[. ′ 2.On notehla fonction dérivée deh. ′ Vérifier que, pour tout nombre réelxappartenant à [0 ;+∞[h(x)=h(x)+ g(x). En déduireH(x) en fonction dex. 3. a.Vérifier que, pour tout nombre réelxappartenant à [0,+ ∞[,

−x ln (1+e ) h(x)=. −x e En déduire la limite dehen+ ∞. b.Déterminer la limite deHen+ ∞. Prouver finalement quelim [H(x)−x]=1−2 ln 2. x→+ ∞ Interpréter graphiquement ce dernier résultat.

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