Baccalauréat C Orléans Tours juin

Description

Niveau: Secondaire, Lycée
[ Baccalauréat C Orléans-Tours juin 1981 \ EXERCICE 1 On note x la classe d'un entier naturel x selon la relation de congruence modulo 10. 1. Expliciter l'ensemble C des classes des entiers n2 quand n décrit l'ensemble N des naturels. 2. Déterminer le plus petit entier naturel n0 tel que pour tout entier n supérieur ou égal à n0 on ait (n!)= 0. (On rappelle que pour tout entier naturel n non nul n! = 1?2?·· · ?n et que 0!= 1). 3. Pour n entier non nul on pose un = 1!+2!+3!+·· · +n!. Déterminer l'ensemble D des entiers naturels n tels que un soit un carré par- fait. EXERCICE 2 1. Soit ? la fonction numérique d'une variable réelle définie par ?(x)= 1? p 1? x2 x . a. Déterminer l'ensemble de définition de ?. b. Étudier la continuité et la dérivabilité de ? sur son ensemble de défini- tion. Étudier lim x?1 x>1 ?(x)??(1) x?1 . Interpréter geométriquement le résultat obtenu. 2. a. Montrer qu'il existe une fonction f définie et continue sur [?1 ; 1] et telle que ?x ? [?1 ; 0[? ]0 ; 1], f (x)=?(x).

• images des vecteurs ??ı


• repère orthonormé direct


• image deq? par l'application ?


• rotations vectorielles


• base deq?


• de? dans le repère

Informations

• Publié par: apmep
• Publié le: 01 juin 1981
• Nombre de lectures: 31
• Langue: Français

Extrait

[Baccalauréat C OrléansTours juin 1981\

E X E R C IC E 1 On notexla classe d’un entier naturelxselon la relation de congruence modulo 10.

2 1.Expliciter l’ensembleCdes classes des entiersnquandndécrit l’ensemble Ndes naturels. 2.Déterminer le plus petit entier natureln 0 tel que pour tout entiernsupérieur ou égal àn 0 on ait

(n!)=0. (On rappelle que pour tout entier naturelnnon nuln!=1×2× ∙ ∙ ∙ ×net que 0!=1). 3.Pournentier non nul on poseu n =1!+2!+3!+ ∙ ∙ ∙ +n!. Déterminer l’ensembleDdes entiers naturelsntels queu n soit un carré par fait.

E X E R C IC E 2 1.Soitϕla fonction numérique d’une variable réelle définie par p 2 1−1−x ϕ(x)=. x a.Déterminer l’ensemble de définition deϕ. b.Étudier la continuité et la dérivabilité deϕsur son ensemble de défini tion. ϕ(x)−ϕ(1) Étudier lim. x→1 x−1 x>1 Interpréter geométriquement le résultat obtenu. 2. a.Montrer qu’il existe une fonctionfdéfinie et continue sur [−1] et telle1 ; que

∀x∈[−1 ; 0[∪]0 ; 1],f(x)=ϕ(x). b.Cette fonctionfestelle dérivable en 0 ? 3.Étudier et représenter graphiquement les variations de la fonctionfsur l’in tervalle [−1 ; 1]. On précisera en particulier fG

P R O B L È M E Soit E un espace vectoriel euclidien orienté de dimension 3. ³ ´ −→−→ −→ SoitB=ı,ı,kune base orthonormée directe de E. −→ −→−→ Siuetvsont des vecteurs, on noteraDla droite vectorielle de baseu,Ple −→ −→−→ u(u;v) ³ ´ −→−→ plan vectoriel de baseu,v. Partie A 1.Quelle est l’image de la baseBpar la projection orthogonale surP? On −→−→ (u;v) noterapcette projection.

Le baccalauréat de 1981

A. P. M. E. P.

−→ −→ 2.On considère le plan vectorielP −→ orienté par. (ı,k) ³ ´ −→ −→ a.Montrer que la basek,ıde ce plan est alors orientée dansP. −→ −→ (ı,k) ³ ´ −→ −→ b.Déterminer la matrice dansk,ıde la rotation vectoriellep α de ce plan, de mesureαen radians (αétant un réel de [0 ;π]. −→ −→ −→ −→ Exprimer, en fonction deıetk, les images des vecteursıetkpar cette rotation vectorielle. c.En déduire l’image de la baseBpar la rotation vectorieller α de E, d’axe −−−−−→ Dorienté parj m a t het de mesureαen radians. −−−−−→ j mat h 3.SoitQ α l’image du plan vectorielPpar la rotation vectorieller α . −→−→ (ı,) ³ ´ −→−→ a.Déterminer la base deQ α , image deı,par la rotation vectorieller α . ³ ´ −→−→ r α ısera notéu. b.Déterminer l’image de la baseBparq, projection vectorielle orthogo nale de E surQ α . c.Vérifier quer α ◦p=q◦r α . d.Montrer que dans la baseB, le vecteur de composantes (x;y;z) a pour ¡ ¢ 2 image parq◦ple vecteur de composantesxcosα;y;−xcosαsinα. −→ 4.Soitule vecteur défini en 3. a. ³ ´ ¡ ¢ −→−→ 2 a.Montrer que (q◦p)u=cosα∙u. b.Discuter selon les valeurs deαla nature de l’application h:D→D −→−→ ³ ´ u u −→−→ x7−→(q◦p)x. c.Montrer que l’image, parq◦p, du plan vectorielQ α est incluse dansQ α . ³ ´ −→−→ 5. a.Déterminer, dans la baseu,, la matrice de l’application linéaire f:Q α →Q α ³ ´ −→−→ x7−→(q◦p)x. b.Déterminer la valeur deαpour laquellefn’est pas bijective. Que peut −→−→ on dire alors dePetQ α ? (ı,) Partie B SoitEun espace affine associé à E et rapporté à un repère orthonormé directB= ³ ´ −→−→ −→ O,ı,,k. SoitQ α le plan affine de directionQ α et contenant le point O. Soitϕl’application deEqui au pointMde coordonnées (x;y;z) dansBfait cor ¡ ¢ ′ ′′ ′ respondre le pointMde coordonnéesx;y;zdansBtelles que  ′2 x=xcosα  π ′ y=y avecα∈[0 ;π],α6=  2 z= −xcosαsinα

1.Montrer que l’image deQ α par l’applicationϕest contenue dansQ α . 2.Soitψl’application ½ Q α →Q α M7−→ϕ(M). ³ ´ −→−→ Quelle est l’expression analytique deψdans le repèreO ;u,où −→ −→ −→ u=cosαı−sinαk?

OrléansTours

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juin 1981

Le baccalauréat de 1981

A. P. M. E. P.

3.SoitCla courbe du planQ α dont les pointsM, de coordonnées (x;y) dans le ³ ´ −→−→ repère O;u,vérifient

2 2 9x−18x+16y−32y−56=0.

Quelle est la nature deC? Donner le centre et les mesures des axes. ³ ´ −→−→ 4.O ;Déterminer dansu,une équation deψ(C). Quelle est la nature deψ(C) ? Donner le centre par ses coordonnées et préciser selon les valeurs deαla me sure du grand axe. Déterminer les valeurs deαpour lesquellesψ(C) est un cercle dont on préci sera le rayon.

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juin 1981