Baccalauréat C Orléans–Tours juin

Description

Niveau: Secondaire, Lycée
[ Baccalauréat C Orléans–Tours juin 1980 \ EXERCICE 1 3 POINTS Soit l'équation 4x3+ x2+ x ?3= 0 (1) 1. Montrer, en étudiant la fonction numérique f définie sur R par f (x)= 4x3+ x2+ x ?3 que l'équation (1) n'a qu'une solution réelle, qui de plus, appartient à l'inter- valle ]0 ; 1[. 2. Montrer que si l'équation (1) a une solution rationnelle p q , où p et q sont pre- miers entre eux, alors p divise 3 et q divise 4. Quels sont les rationnels vérifiant cette dernière condition ? 3. Déterminer la solution rationnelle p q de l'équation (1) et, après avoir mis en facteur (qx ?p) dans l'expression de f (x), achever la résolution de l'équation (1) dans le corps des complexes. EXERCICE 2 4 POINTS Soit A, B et C trois points alignés deux à deux distincts dans un plan affine E associé à un plan vectoriel ??E . On pose ???AC =????AB , où ? ?R. 1. a. Donner une conditionnécessaire et suffisante portant sur le triplet (?,?,?) de R3 pour que le propriété suivante soit vérifiée A est le barycentre du système (B, ?), (C, ?), et B est le barycentre du système (A, ?), (C, ?), et C est le barycentre du système (A,

• tanp ?


• ?n ?n


• ?m ?


• tann


• droite vectorielle de r3


• tanx


• ?? tann


• vecteur nul


• solution rationnelle

Sujets

• Vecteur nul

Informations

• Publié par: apmep
• Publié le: 01 juin 1980
• Nombre de lectures: 50
• Langue: Français

Extrait

[Baccalauréat C Orléans–Tours juin 1980\

E X E R C IC E 1 Soit l’équation

3 2 4x+x+x−3=0 (1) 1.Montrer, en étudiant la fonction numériquefdéfinie surRpar

3 P O IN TS

3 2 f(x)=4x+x+x−3 que l’équation (1) n’a qu’une solution réelle, qui de plus, appartient à l’inter valle ]0 ; 1[. p 2.Montrer que si l’équation (1) a une solution rationnelle, oùpetqsont pre q miers entre eux, alorspdivise 3 etqdivise 4. Quels sont les rationnels vérifiant cette dernière condition ? p 3.Déterminer la solution rationnellede l’équation (1) et, après avoir mis en q facteur (q x−p) dans l’expression def(x), achever la résolution de l’équation (1) dans le corps des complexes.

E X E R C IC E 2 4 P O IN TS Soit A, B et C trois points alignés deux à deux distincts dans un plan affine E associé −→ à un plan vectorielE. −→−→ On pose AC=λAB , oùλ∈R.

1. a.Donner une condition nécessaire et suffisante portant sur le triplet (α,β,γ) 3 deRpour que le propriété suivante soit vérifiée A est le barycentre du système (B,β), (C,γ), et B est le barycentre du système (A,α), (C,γ), et C est le barycentre du système (A,α), (B,β). b.On vérifiera que l’ensembleXdes triplets (α,β,γ) satisfaisant à cette 3 condition est la droite vectorielle deRengendrée par le vecteur −→ u=(λ−1 ;−λ; 1),privée du vecteur nul. 2.Soit (α,β,γ) un élément deX. −→ a.Soitfla fonction deEdansEdéfinie par −−→−−→−−→ ∀M∈E,f(M)=αMA+βMB+γMC . Déterminer l’image deEparf. b.Dans le cas oùEest euclidien, on considère la fonctionΦdeEdansR définie par

P R O B L È M E

2 2 2 ∀M∈E,Φ(M)=αMA+βMB+γMC . Montrer queΦest constante.

13 P O IN TS

Le baccalauréat de 1980

A. P. M. E. P.

Partie A Pour tout entier naturel non nuln, on pose Z π 4 n I n =tanxdx. 0 1. a.Justifier l’existence deI n . b.Sans calculerI n , montrer que la suite (I n une suite décroissante) est n∈N dont tous les termes sont positifs. n+1 2. a.Pour tout entier natureln, calculer la dérivée de la fonctionx−7→tanx. En déduire 1 ⋆ ∀n∈N,I n +I n+2 =. n+1 1 1 ⋆ b.Montrer que∀n∈N, 6 I n 6 . 2(n+1)n+1 c.En déduire la limite de la suite (I) lorsquentend vers+∞. n n ∈N ⋆ d.Calculerf(n)=I n+4 −I n en fonction den, oùn∈N. 3. a.CalculerI 2 . b.Calculerf(2)+f(6)+f(10)+ ∙ ∙ ∙ +f(4k−2) en fonction deI 2 et deI 4k+2 , ⋆ oùk∈N. c.En déduire la limite de la somme 1 1 11 1 1− + − +. . .− +. 3 5 74k−1 4k+1 lorsquektend vers+∞. h i π 4. a.Vérifier que la fonctionx→7−log(cosx0 ;) est définie et dérivable sur 4 et déterminer sa dérivée. CalculerI 1 . b.Calculerf(1)+f(5)+f(9)+. . .+f(4k−3) en fonction deI 1 et deI 4k+1 , ⋆ oùk∈N. c.En déduire la limite de la somme 1 1 11 1 1− + − +. . .+ − 2 3 42k−1 2k lorsquektend vers+∞. Partie B i h π Soitα. On pose0 ;un réel donné élément de 4 Z α ⋆n ∀n∈N,K n (α)=tanxdxet 0

S n (α)=K 1 (α)+K 2 (α)+ ∙ ∙ ∙ +K n (α). 1.Soitxun élément de [0 ;α]. Calculer pournentier naturel non nul, ¯¯ 2n tanx+tanx+ ∙ ∙ ∙ +tanxen fonction dexet den. Montrer que

Orléans–Tours

n+1 tanxtanx 2n tanx+tanx+ ∙ ∙ ∙ +tanx− =. ¯ ¯ 1−tanx1−tanx

2

juin 1980

Le baccalauréat de 1980

A. P. M. E. P.

⋆ 2.Étudier le sens de variation de la fonctiong p , oùp∈N, définie sur [0 ;α] par p tanx g p (x)=. En déduire que 1−tanx p p tanxtanα ⋆ ∀p∈N,∀x∈[0 ;α], 0 6 6 . 1−tanx1−tanα 3.Montrer que Z α tanxαtanα ⋆ ∀p∈N,S n (α)− 6 . ¯ ¯ 0 1−tanx1−tanα En déduire l’existence de la limite de la suite (S n (α)) quandntend vers ⋆ n∈N +∞. 4.On se propose de préciser cette limite. a.Montrer que la fonctionx→−7log(cosx−sinx) est définie et dérivable sur h h π l’intervalle 0; .Calculer sa dérivée. 4 b.On pose Z α sinx A(α)=dxet 0 cosx−sinx Z α cosx B(α)=dx 0 cosx−sinx CalculerB(α)−A(α) etB(α)+A(α) puisA(α) etB(α). En déduire la valeur de la limite de la suite (S(α)) quandntend vers+∞. ⋆ n n ∈N Partie C ⋆′ On pose, pourn ∈N,S n =I 1 +I 2 +. . .+I n . ¡ ¢ ′ On se propose de démontrer que la suiteS ⋆ tend vers+∞quandntend vers n n ∈N +∞, c’est à dire que ⋆ ⋆′ ∀C∈R + ,∃x 0 ∈N,∀n∈N,n>n 0 ⇒S>C. n i h π Dans cette partie,α0 ;.varie dans l’intervalle 4 π 1. a.Étudier la limite deA(α) quandαtend vers. En déduire qu’il existe un 4 i h π élémentα 0 quede 0; telA ( α 0 ) >C+1. 4 b.En utilisant les résultats de la partie B, montrer que

⋆ ⋆ ∃n 0 ∈N,∀n∈N,n>n 0 ⇒ | A ( α 0 ) −S n ( α 0 ) | < 1.

2.Montrer que i h π ⋆′ ∀n∈N,∀α∈0 ;,S > S n (α). n 4 ′ 3.Utiliser ce qui précède pour montrer quelimS= +∞. n n→+∞

Orléans–Tours

3

juin 1980