Baccalauréat C Orléans Tours septembre

Description

Niveau: Secondaire, Lycée
[ Baccalauréat C Orléans-Tours septembre 1978 \ EXERCICE 1 3 POINTS 1. Calculer la somme Sk = 1+102 +104+·· ·+102k , k ?N?. 2. Exprimer le nombre qui s'écrit en base 10, ababab, à l'aide du nombre ab et de puissances de 10. 3. En déduire la somme 29+2929+292929+·· · +2929...29 ? ?? ? n fois29 . EXERCICE 2 4 POINTS Soit f la fonction réelle de variable réelle, telle que : x 7?? f (x)= x 2+ x+1 x2+1 . 1. Étudier les variations de la fonction f , et construire la courbe d'équation y = f (x) dans le plan affine euclidien rapporté au repère orthonormé ( O, ??ı , ??? ) . Montrer que cette courbe admet un centre de symétrie I, dont on précisera les coordonnées. 2. En déduire l'aire du domaine E du plan affine euclidien, ensemble des points M de coordonnées x et y , telles que : 06 x 6 1 et 16 y 6 f (x). PROBLÈME 4 POINTS On appelle E le plan vectoriel euclidien rapporté à la base orthonormée (?? ı , ??? ) , et P le plan affine euclidien, associé à E rapporté au repère orthonormé ( O, ??ı , ??? ) .

• courbe


• matrice de ?


• loi de composition des applications


• courbe d'équation


• groupe pour la loi ? de composition des applications


• loi ?


• applica- tion réciproque

Sujets

• Courbe

Informations

• Publié par: apmep
• Publié le: 01 septembre 1978
• Nombre de lectures: 36
• Langue: Français

Extrait

[Baccalauréat C OrléansTours septembre 1978\

E X E R C IC E 1 1.Calculer la somme

3 P O IN TS

2 42k⋆ S=1+10+10+ ∙ ∙ ∙ +10 ,k∈N. k 2.Exprimer le nombre qui s’écrit en base 10,ab ab ab, à l’aide du nombreabet de puissances de 10. 3.En déduire la somme 29+2 929+292 929+ ∙ ∙ ∙ +2929...29. { } nfois 29

E X E R C IC E 2 4 P O IN TS Soitfla fonction réelle de variable réelle, telle que : 2 x+x+1 x−7→f(x)=. 2 x+1 1.Étudier les variations de la fonctionf, et construire la courbe d’équationy= ³ ´ −→−→ f(xO,) dans le plan affine euclidien rapporté au repère orthonorméı,. Montrer que cette courbe admet un centre de symétrie I, dont on précisera les coordonnées. 2.En déduire l’aire du domaine E du plan affine euclidien, ensemble des points Mde coordonnéesxety, telles que :

0 6 x 6 1 et 1 6 y 6 f(x).

P R O B L È M E 4 P O IN TS ³ ´ −→−→ On appelle E le plan vectoriel euclidien rapporté à la base orthonorméeı,, et ³ ´ −→−→ P le plan affine euclidien, associé à E rapporté au repère orthonorméO,ı,. L(E) étant l’ensemble des endomorphismes de E (applications linéaires de E dans E), on rappelle que : Ltoriel sur(E), muni de l’addition et de la loi externe, est un espace vecR, L(E), muni de l’addition et de la loi de composition des applications (notée◦), est un anneau unitaire et que, quels que soient le réelαet les endomorphismesfetgde E on a :

(αf)◦g=α(f◦g)=f◦(αg). On notera e l’application identique de E dans E. Partie A 2 2 Soitϕun endomorphisme de E tel queϕ= −eϕ=ϕ◦ϕ), c’estàdire tel que : ³ ´ −→−→−→−→ 2 ∀u∈E,ϕu= −eu= −u. µ ¶ ³ ´ a b →−→− 1.Montrer queest la matrice deϕdans la baseı,si et seulement c d 2 si :a+d=0 eta+bc= −1.

Le baccalauréat de 1978

A. P. M. E. P.

2.Montrer queϕaest une application bijective de E dans E. Exprimer l’applic −1 tion réciproqueϕdeϕen fonction deϕ. ³ ³´´ −→ −→−→ 3.Siuest un vecteur non nul de E, montrer queu, ;ϕuest une base de E. Quelle est la matrice deϕdans cette base ? n 4.Exprimer en fonction deϕou de e l’endomorphismeϕpour tout entier na 0 1 tureln. (On poseraϕ= e etϕ=ϕ. © ª n Déterminer les éléments deH=ϕ;n∈N. Montrer queHest un groupe pour la loi◦de composition des applications, isomorphe au groupe multiplicatif © ª ′n2 H=i ;n∈N, (i= −1) . 5.SoitΦle sous∙espace vectoriel deL(E) constitué par l’ensemble des combi naisons linéaires des éléments e etϕoùϕest un endomorphisme donné tel 2 queϕ= −e. a.Montrer que les endomorphismes e etϕsont linéairement indépendants. b.Soithl’application linéaire deCdansΦdéfinie par

h(1)=eh(i)=ϕ (1 ;i) étant la base canonique deCespace vectoriel des nombres com plexes. Montrer quehest bijective. c.Montrer queΦest stable pour la loi◦, loi de composition des applica tions. d.En déduire quehest un homomorphisme de (C,×) dans (Φ,◦) et que (C,+,×) et (Φ,+,◦) sont deux corps isomorphes. 6 e.Déterminer les couples de nombres réels (α;β) tels que (αe+βϕ)=e. Partie B P→P Soitfaffine qui au point: l’applicationMde coordonnéesxety ′ M→7−M ³ ´ −→−→ ′ ′ dans le repèreO,ı,associe le pointM(M=f(M)) dont les coordonnées dans le même repère sont ½ ′ x=x−2y+2 ′ y=x−y+1

1.Montrer quefest une application bijective dont l’endomorphisme associéϕ 2 est tel queϕ= −e. Montrer quefn’admet qu’un seul point invariant A dont on précisera les co ordonnées. 2.lles que D soitDémontrer qu’il existe deux droites affines D passant par A te perpendiculaire à son imagef(D). 3.On prendM=M 0 et on noteM n =f ( M n−1 ) pour tout entier naturelnsupé rieur ou égal à 1. a.Montrer que l’ensemble des pointsM n ainsi définis est réduit à quatre points siM 0 6=A. b.Montrer que les quatre pointsM 0 ,M 1 ,M 2 ,M 3 sont les sommets d’un parallélogramme dont on précisera le centre.

OrléansTours

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septembre 1978

Le baccalauréat de 1978

A. P. M. E. P.

c.Déterminer, en utilisant les résultats de la question B 2., l’ensemble des pointsM 0 pour que ce parallélogramme soit un losange. d.Ce parallélogramme peutil être un carré ? ³ ´ −→−→ 4.Soit (CO,) la courbe qui, dans le repère orthonorméı,a pour équation

2 2 x−2y−2x+4y−3=0. a.Préciser la nature de (C), donner ses éléments caractéristiques et cons ³ ´ −→−→ truire (C) dans le repèreO,ı,. ′ b.Déterminer l’équation de la courbe (C)=f((C)). Préciser la nature de ′ (C), donner ses éléments caractéristiques et la construire dans le même repère que (C). ′ c.Les courbes (C) et (C) ont les mêmes asymptotesΔ 1 etΔ 2 . Déterminer l’image parfdu coupleΔ 1 ;Δ 2 .

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