Baccalauréat C Orléans–Tours septembre

Description

Niveau: Secondaire, Lycée
[ Baccalauréat C Orléans–Tours septembre 1976 \ EXERCICE 1 f est la fonction réelle de la variable réelle x définie sur l'intervalle I= [ ? pi 4 ; pi 4 ] par : f (x)= |x|+ tg x 1. Étudier cette fonction et tracer sa courbe représentative dans un repère ortho- normé. 2. Montrer qu'il existe un réel unique x0 appartenant à I tel que : f (x0)= pi8 . 3. Calculer ∫ pi 4 ? pi4 f (x)dx. Quelle est la valeur moyenne de f sur l'intervalle I ? EXERCICE 2 On dispose de deux urnes dont l'une contient deux boules marquées 1, deux boules marquées 2 et deux boules marquées 3 et l'autre contient trois boules marquées 1, deux boules marquées 2 et une boule marquée 3. On tire une boule dans chaque urne et on suppose que chaque couple de boules a la même probabilité d'être tiré. 1. Montrer que la probabilité d'obtenir 3 comme somme des nombres écrits est 5 18 . 2. On considère la variable aléatoire X qui, à chaque couple de boules, associe la somme des nombres écrits sur ces boules. Donner la loi de probabilité deX. Calculer l'espérancemathématique et l'écart- type de X. PROBLÈME V étant un espace vectoriel réel, et V ? et V ?? deux sous-espaces vectoriels donnés de V , on se propose d'étudier l'ensemble E des endomorphismes de V ? de noyau V ?? et d'image

• projection vectorielle


• réel


• loi de composition des applica- tions


• loi de composition des applications


• matrice dans la base b?


• droite vectorielle de base??v ??


• ??v appartenant à ker

Informations

• Publié par: apmep
• Publié le: 01 septembre 1976
• Nombre de lectures: 40
• Langue: Français

Extrait

[Baccalauréat C Orléans–Tours septembre 1976\

E X E R C IC E 1 h i π π fest la fonction réelle de la variable réellexdéfinie sur l’intervalle I= −:; par 4 4 f(x)= |x| +tgx 1.Étudier cette fonction et tracer sa courbe représentative dans un repère ortho normé. 2.Montrer qu’il existe un réel uniquex 0 appartenant à I tel que : π f ( x 0 ) =. 8 Z π 4 3.Calculerf(x) dx. π − 4 Quelle est la valeur moyenne defsur l’intervalle I ?

E X E R C IC E 2 On dispose de deux urnes dont l’une contient deux boules marquées 1, deux boules marquées 2 et deux boules marquées 3 et l’autre contient trois boules marquées 1, deux boules marquées 2 et une boule marquée 3. On tire une boule dans chaque urne et on suppose que chaque couple de boules a la même probabilité d’être tiré.

1.Montrer que la probabilité d’obtenir 3 comme somme des nombres écrits est 5 . 18 2.oules, associe laOn considère la variable aléatoire X qui, à chaque couple de b somme des nombres écrits sur ces boules. Donner la loi de probabilité de X. Calculer l’espérance mathématique et l’écart type de X.

P R O B L È M E ′ ′′ Vétant un espace vectoriel réel, etVetVdeux sousespaces vectoriels donnés de ′ ′′ V, on se propose d’étudier l’ensembleEdes endomorphismes deVde noyauVet d’imageV.

Partie A ³ ´ −→−→ ′ Vest un plan vectoriel de baseB=ı,Vest la droite vectorielle de base −→ −→−→ −→ −→−→ ′ ′′′′ v=ı+etVest la droite vectorielle de basev=a ı+b, oùaetbsont deux réels différents de 0.

1.On suppose a6=b ³ ´ −→−→ ′ ′′ a.Montrer quev,vest une base deV. ′′ ′ b.Soitpla projection vectorielle surVparallèlementV. Estce quepest élément deE?

Le baccalauréat de 1977

A. P. M. E. P.

³ ´ −→−→ ′ ′′′ c.Soitfun élément deE. Écrire sa matrice dans la baseB=v,v. En déduire quefest la composée d’une homothétie vectorielle et d’une projection vectorielle que l’on déterminera. Y atil commutativité de la composition ? d.Démontrer queEest égal à l’ensemble des endomorphismesh◦p, oùh décrit l’ensembleHdes homothéties vectorielles deV. e.Eême quesestil stable pour la loi de composition des applications ? M tion pour l’addition des applications. H→E f.Montrer que l’application : h→−7h◦p est un isomorphisme de groupe, les ensemblesHetEétant munis de la loi de composition des applications deVdansV. Préciser l’élément neutre de (E,◦) et l’élément symétrique d’un élément donné deE. 2.On suppose a=b a.Peuton définir la projection vectoriellepde la partie A ? b.Soitf 1 , l’endomorphisme deVdont la matrice dans la baseBest : µ ¶ 1−1 1−1 Vérifier quef 1 est élément deE. µ ¶ α γ c.Soitfun endomorphisme deVdans la base B., de matrice β δ Donner les conditions nécessaires et suffisantes surα,β,γ,δpour quef soit élément deE. d.En déduire queEest égal à l’ensemble des endomorphismesh◦f 1 , oùh décritH.Eestil stable pour la loi de composition des applications ? Partie B Vest un espace vectoriel réel de dimension 2 ou 3. Sifest un élément deE, on ′ ′′ notera Kerf=Vet Imf=V.

′ ′′ 1.Donner un exemple de sousespacesVetVtels queEsoit l’ensemble vide. On supposera dans la suite du problème queEn’est pas l’ensemble vide. 2.fetgétant deux éléments deE: ′ ′′ a.Montrer queV⊂Ker (g◦f) et Im (g◦f)⊂V. ³ ´ −→−→ ′ ′′ b.SiV=V, montrer que :∀v∈V,g◦f v=0. Eestil stable pour la loi de composition des applications? Rapprocher ce résultat de celui trouvé en première partie 2. d. ′ ′′ c.SiVetVsont deux sousespaces supplémentaires deV, montrer que ³ ´ −→−→ quel que soitvappartenant à Ker (g◦f),f v=0 et montrer que ′′ Im (g◦f)=V.Eestil stable pour la loi de composition des applica tions ? ′′ ′′′′ 3.Vest une droite vectorielle deVetVun sousespace supplémentaire deV dansV. ¡ ¢ ′′ ′′ a.Montrer que pour tout élémentfdeE,fV⊂V. En déduire que pour ³ ´ −→ −→−→ tout vecteurvdeV,f vetvsont colinéaires. ′′ b.Démontrer que la restriction defàVest une homothétie vectorielle.

Orléans–Tours

2

septembre 1976

Le baccalauréat de 1977

A. P. M. E. P.

c.Démontrer queEest égal à l’ensemble des endomorphismesh◦p, oùh décrit l’ensemble des homothéties vectorielles deV,pétant la projec ′′ ′ tion vectorielle surVparallèlement àV. N. B. Dire queEest stable pour la loi de composition des applications signifie : 2 ∀(f,g)∈E,g◦f∈E.

Orléans–Tours

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septembre 1976