Baccalauréat C Paris juin

Description

Niveau: Secondaire, Lycée
[ Baccalauréat C Paris 1 juin 1980 \ EXERCICE 1 4 POINTS Soient trois points non alignés A, B, C d'un plan affine euclidien P . On pose d(B, C)= a, d(C, A)= b, d(A, B)= c. On désigne par I le milieu du segment [BC]. Quels que soient les points P et Q du plan, on notera PQ la distance de ces points. 1. Établir l'égalité : b2+c2 = 2AI2+ a 2 2 . 2. À tout point M du plan P on associe le réel : ?(M)=MB2+MC2?MA2. a. Soit G le barycentre des points B, C et A affectés respectivement des co- efficients 1, 1 et ?1. Donner une détermination simple de G et placer ce point sur la figure. b. Exprimer?(M) à l'aide de MG, a, b, c. Donner une condition nécessaire et suffisante portant sur a, b, c pour qu'il existe un point M au moins vérifiant ?(M)= 0. EXERCICE 2 4 POINTS Soit la famille d'équations : z2? (1+ i sin2?)z+ 12 sin2? = 0 (E?) dans laquelle ? désigne un réel appartenant à l'intervalle ] ? pi 2 ; pi 2 [ .

• direction indépendante de ?


• point sur la figure


• droite conte


• milieu de segment


• entier naturel


• repère orthonormé

Sujets

• Entier naturel
• Base orthonormale

Informations

• Publié par: apmep
• Publié le: 01 juin 1980
• Nombre de lectures: 17
• Langue: Français

Extrait

1 [juin 1980Baccalauréat C Paris\

E X E R C IC E 1 4 P O IN TS Soient trois points non alignés A, B, C d’un plan affine euclidienP. On posed(B, C)=a,d(C, A)=b,d(A, B)=c. On désigne par I le milieu du segment [BC]. Quels que soient les points P et Q du plan, on notera PQ ladistance de ces points. 2 a 2 22 1.Établir l’égalité :b+c=2AI+. 2 2.À tout pointMdu planPon associe le réel :

2 2 2 ϕ(M)=MB+MC−MA .

a.ent des coSoit G le barycentre des points B, C et A affectés respectivem efficients 1, 1 et−1. Donner une détermination simple de G et placer ce point sur la figure. b.Exprimerϕ(M) à l’aide deMG,a,b,c. Donner une condition nécessaire et suffisante portant sura,b,cpour qu’il existe un pointMau moins vérifiantϕ(M)=0.

E X E R C IC E 2 4 P O IN TS Soit la famille d’équations : 1 2 z−(1+i sin 2θ)z+sin 2θ=0 (E θ ) 2 i h π π dans laquelleθdésigne un réel appartenant à l’intervalle−; . 2 2 ³ ´ −→−→ SoitPO,le plan affine muni d’un repère orthonorméu,v; à tout complexe z=x+iy, (x;y) étant élément deR×R, on associe le pointMde coordonnées (x;y) dansP.

1.Résoudre l’équation (E θ ) dans l’ensemble des nombres complexes. Préciser la cas des racines doubles. ′ ′′′ ′′ 2.SoientM(θ) etM(θ) les points dePassociées aux solutionsz(θ) etz(θ) de ′ ′′ l’équation (E θ ) et soitI(θ) le milieu du segment [M(θ),M(θ)]. i h π π a.Déterminer l’ensemble des pointsI(θ) quandθdécrit−; . 2 2 ′ ′′ b.Montrer que l’ensemble des pointsM(θ) etM(θ) est un cercleCque l’on précisera. ′ ′′ c.Démontrer, lorsqueM(θ) etM(θ) sont distincts, que la droite conte nant ces deux points a une direction indépendante deθ. ¡ ¢ π d.θon fera la figure avecétant donnéθ=, déduire de ce qui précède 6 ′ ′′ une construction simple deI(θ) et des pointsM(θ) etM(θ). Une figure soignée comportera tous les éléments intéressants de l’exer cice. 1. Paris,Créteil, Versailles

Le baccalauréat de 1980

A. P. M. E. P.

P R O B L È M E 12 P O IN TS Soitfl’application de l’intervalle I=]−1 ; 1[ dansRdéfinie par : Z x 1 x→−7f(x)=dt. 2 0 1−t Partie A 1. a.Démontrer qu’il existe deux réelsaetbtels que pour touttappartenant à I : 1a b = +. 2 1−t1−t1+t b.Calculerf(x). Étudier les variations de l’applicationf(en particulier la parité) et construire la courbe représentative defdans un plan affine euclidien muni d’un ³ ´ −→−→ repère orthonorméO,ı,. 2.Montrer quefest une bijection de I surR. En désignant paruun réel stricte ment positif, résoudre dans I l’équationf(x)=logu. (On désigne par logule logarithme népérien deu.) Partie B p Soitrun rationnel strictement supérieur à 1. On poser=,petqétant deux entiers q naturels premiers entre eux. ′ On désigne parNl’ensemble des entiers naturels strictement supérieur à 1.

1.Démontrer que siaetbsont deux entiers naturels premiers entre eux vérifiant a>b, les entiers naturelsa+beta−bont pour plus grand diviseur commun soit 1, soit 2. Préciser, en considérant les parités deaet deb, dans quelles conditions on obtient chacun de ces deux cas. 2.Montrer que, quel que soitr, l’équation µ ¶ 1 ′ f=logr,m∈N m n’a pas de solution. 3. a.Résoudre les équations µ ¶ 1 ′ 2f=log 2,m∈N m µ ¶ 1 ′ 2f=log 4,m∈N. m b.Montrer qu’une condition nécessaire et suffisante pour que l’équation : µ ¶ 1 ′ 2f=logr,m∈N m ait une solution est qu’il existe un entier naturel non nulktel que 2 r=1+. k Résoudre alors cette équation. 4.Soit l’équation à deux inconnues : µ ¶µ ¶ 1 1 ′ ′ f+f=logr, (m,n)∈N×N. (E r ) m n

Paris, Créteil, Versailles

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juin 1980

Le baccalauréat de 1980

A. P. M. E. P.

a.Montrer que l’équation (E r ) a les mêmes solutions que l’équation : ′ ′ (m−s)(n−s)=t, (m;n)∈N×N oùsettdésignent deux rationnels que l’on calculera en fonction der. b.Résoudre les équations µ ¶µ ¶ 1 1 ′ ′ f+f=(log 2,m;n)∈N×N m n µ ¶µ ¶ 1 1 ′ ′ f+f=(log 4,m;n)∈N×N m n

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