Baccalauréat C Paris juin

Description

Niveau: Secondaire, Lycée
[ Baccalauréat C Paris juin 1974 \ EXERCICE 1 Trouver, sous la forme a+ ib (a et b réels), un nombre complexe ? tel que ?2 = 48+14i. Résoudre, dans C, l'équation : z2?5(1+ i)z?12+9i= 0. Vérifier que le quotient des deux racines est un imaginaire pur. EXERCICE 2 Soit f la fonction numérique définie sur R par f (x)= Log (e2x ?ex +1) le symbole Log désignant le logarithme népérien de base e. 1. Étudier la variation de la fonction f . Soit C la courbe représentative, dans un repère orthonormé, de la variation de f . Montrer, en posant x = Log (ex ), que f (x)?2x tend vers une limite lorsque x tend vers +∞, et en déduire l'asymp- tote correspondante de C . Construire la courbeC (on précisera la tangente au point C d'ordonnée nulle). 2. Soit k un nombre réel strictement positif. Discuter, suivant les valeurs de k, le nombre de solutions réelles de l'équation d'inconnue x e2x ?ex +1?k = 0. a. par le calcul, b. en utilisant la courbe C . PROBLÈME N. B. - La partie C est indépendante des parties A et B. Partie A Soit E un espace vectoriel euclidien de dimension 3, (??ı , ??? , ??k ) une base orthonor- mée de E, r1 la rotation vectorielle E ? E ayant pour axe

• angle de la rotation vectorielle


• rotations vectorielles


• images de ??ı


• équation de lk dans le repère


• contenant ??k


• repère orthonormé

Sujets

• Base orthonormale

Informations

• Publié par: apmep
• Publié le: 01 juin 1974
• Nombre de lectures: 47
• Langue: Français

Extrait

[Baccalauréat C Paris juin 1974\

E X E R C IC E 1 Trouver, sous la formea+ib(aetbréels), un nombre complexeωtel que 2 ω=48+14i. Résoudre, dansC, l’équation :

2 z−5(1+i)z−12+9i=0.

Vérifier que le quotient des deux racines est un imaginaire pur.

E X E R C IC E 2 Soitfla fonction numérique définie surRpar ¡ ¢ 2x x f(x)=Log e−e+1 le symbole Log désignant le logarithme népérien de base e. 1.Étudier la variation de la fonctionf. SoitCla courbe représentative, dans un x repère orthonormé, de la variation def. Montrer, en posantx=), queLog (e f(x)−2xtend vers une limite lorsquextend vers+∞, et en déduire l’asymp tote correspondante deC. Construire la courbeC(on précisera la tangente au point C d’ordonnée nulle). 2.Soitkun nombre réel strictement positif. Discuter, suivant les valeurs dek, le nombre de solutions réelles de l’équation d’inconnuex

2x x e−e+1−k=0. a.par le calcul, b.en utilisant la courbeC.

P R O B L È M E N. B. La partie C est indépendante des parties A et B.

Partie A ³ ´ −→−→ −→ Soit E un espace vectoriel euclidien de dimension 3,ı,,kune base orthonor mée de E,r 1 la rotation vectorielle E→E ayant pour axe la droite vectorielle conte ³ ´ −→ −→ −→ nantıet telle quer 1 =k,r 2 la rotation vectorielle ayant pour axe la droite ³ ´ −→ −→ −→ vectorielle contenantet telle quer 2 k=ı.

2 32 1.On poser=r 2 ◦r 1 ,r=r◦r,r=r◦r. −→−→ −→ 2 3 Quelles sont les images deı,,kparr, parr, parr? Quel renseignement relatif à l’angle de la rotation vectoriellerdéduiton de ce qui précède ? −→ 2.Calculer en fonction des coordonnéesx,y,zd’un vecteur quelconqueVde ³ ´ −→ ′ ′ ′ E les coordonnéesx,y,zdu vecteurr V, et déterminer les vecteurs de E invariants parr.

Le baccalauréat de 1974

A. P. M. E. P.

−→ 3.Soitr 3 la rotation vectorielle ayant pour axe la droite vectorielle contenantk ³ ´ −→−→ et telle quer 3 ı=. −→−→ −→ Déterminer les images deı,etkpar la rotation vectorieller◦r 3 c’està direr 2 ◦r 1 ◦r 3 . Qu’en déduiton pour cette rotation ? Indiquer de même ce que sont les rotationsr 3 ◦r 2 ◦r 1 etr 1 ◦r 3 ◦r 2 . (Les résultats de ce3. ne seront pas utilisés par la suite).

Partie B ³ ´ −→−→ −→ SoitEO,un espace affine euclidien, associé à E, etı,,kun repère deE(les −→ −→ −→ vecteursı,etkétant définis au A). On désigne parρl’application deEdansEdans laquelle tout pointM, de coordon ′ néesx,y,z, a pour image le pointMde coordonnées :

′ ′′ x=y,y= −z,z= −x. 1.Préciser la nature de cette applicationρ. 2.SoitPle plan deEd’équationz=1. Déterminer l’ensembleHdes pointsM − −−−→ →− ′ du planPtels que les vecteurs OMet OMsoient orthogonaux. La courbeH admet un centre de symétrieΩ. Écrire l’équation deHrelativement au repère ³ ´ −→−→ Ω,ı,et indiquer la nature de la courbeH. ³ ´ −→−→ −→ 3.On définit, par leurs coordonnées dans le repèreO,ı,,k, les points sui vants deE: S(0 ; 0 ; 1), A(0 ; 1 ; 1), B(1 ; 0 ; 1) . On constate que les points A , S, B, ′ Ωsont les sommets consécutifs d’un carréΓ. Soit C =ρ(A), S=ρ(S), D =ρ(B) ′ ′ ,Ω=ρ(Ω) ; ces points sont les sommets d’un carréΓimage deΓparρ. On désigne enfin parαle point deEtel que S soit le milieu de Aα, et parβle point deEtel que B soit le milieu deΩβ. ′ Montrer qu’il existe un déplacementδ, autre queρ, tel queδ(Γ)=Γet dans lequelαetβsont invariants (il est conseillé de préciser d’abord les images par δdes points A, S, B etΩ). ′ Vérifier que la courbeHa même imageHparρet parδ. Partie C Les lettresE, O,ρont la même signification que dans la partie B.

1.On donne un nombre réelk, strictement positif, et l’on appelleL k l’ensemble ′ des pointsM, appartenant au plan deEd’équationz=0, et tels queM M= ′1 kOM([en posant encoreM=ρ(M)] ³ ´ −→−→ Ecrire l’équation deLO,dans le repèreı,. k On posex=λcosθ,y=λsinθ, avecλ > 0. Montrer que si le pointMde coordonnéesx,yappartient àL k et siλ>0, alors sin 2θs’exprime simplement en fonction dek. En déduire, suivant les valeurs dek, la nature géométrique de l’ensembleL k . 6 Application numérique:k=. 2 Calculer les valeurs correspondantes deθ. 1 2.SoitΣdes entiers relatifsl’ensemble dont les éléments sont les inversesn n non nuls. ′ ′ 1.M Met OMreprésentent respectivement la distance deMetMet la distance de O àM.

Paris

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juin 1974

Le baccalauréat de 1974

Paris

A. P. M. E. P.

On se propose de chercher certaines valeurs rationnelle dekpour lesquelles p sin 2θappartient àΣ. Montrer, à cet effet, que sik=, oùpetqdésignent q des entiers naturels premiers entre eux, les conditions a. et b. suivantes sont équivalentes : a.sin 2θ∈Σ 2 2 b.p−2q= ±1. En déduire les couples (p;q) cherchés, pour lesquels 1 6 p<20, ainsi que les valeurs correspondantes de sin2θ[on ne cherchera pas l’expression générale des couples (p;q) vérifiant la condition b. ].

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juin 1974