Baccalauréat C Paris septembre

Description

Niveau: Secondaire, Lycée
[ Baccalauréat C Paris septembre 1976 \ EXERCICE 1 Soit n un entier naturel, non nul. On considère les entiers A et B : A = 3n2 B = n(2n+1) Déterminer suivant les valeurs de n, le plus grand commun diviseur de A et B . EXERCICE 2 On considère dans C, l'équation : (1) mz4+ (m ? i)z2? i= 0 où z désigne l'inconnue et i le nombre complexe de module 1 et d'argument pi2 , etoù m désigne un paramètre. 1. On suppose ici m réel ; résoudre l'équation. 2. On suppose ici m complexe, de module ? et d'argument ? ; résoudre l'équa- tion. 3. Trouver l'ensemble E des valeurs du paramètre (réelles ou complexes) pour lesquelles toutes les solutions de (1) sont de même module. PROBLÈME Partie A On désigne par Log la fonction logarithme népérien. 1. On considère la fonction f qui, à x réel, associe f (x)= Log (|Log x|) Préciser son domaine de définition puis calculer, k étant un réel arbitraire, f (ek). Etudier la fonction f et construire la courbe représentative (C ) de f dans un plan P rapporté à un repère orthonormé (unité 2 cm).

• progression arithmétique de raison


• mière bissectrice des axes de coordonnées


• argument de z ?


• racine de l'équation

Informations

• Publié par: apmep
• Publié le: 01 septembre 1976
• Nombre de lectures: 46
• Langue: Français

Extrait

[Baccalauréat C Paris septembre 1976\

E X E R C IC E 1 Soitnun entier naturel, non nul. On considère les entiersAetB:

2 A=3n B=n(2n+1) Déterminer suivant les valeurs den, le plus grand commun diviseur deAetB.

E X E R C IC E 2 On considère dansC, l’équation :

4 2 (1)m z+(m−i)z−i=0 π oùzgument ,désigne l’inconnue et i le nombre complexe de module 1 et d’aret 2 oùmdésigne un paramètre.

1.On suppose icimréel ; résoudre l’équation. 2.On suppose icimcomplexe, de moduleρet d’argumentθ; résoudre l’équa tion. 3.Trouver l’ensembleEdes valeurs du paramètre (réelles ou complexes) pour lesquelles toutes les solutions de (1) sont de même module.

P R O B L È M E

Partie A On désigne par Log la fonction logarithme népérien. 1.On considère la fonctionfqui, àxréel, associe

f(x)=Log (|Logx|)

Préciser son domaine de définition puis calculer,kétant un réel arbitraire, ¡ ¢ k fe . Etudier la fonctionfet construire la courbe représentative (C) defdans un plan P rapporté à un repère orthonormé (unité 2 cm). Donner, s’il y en a, les points d’intersection de (C) et des axes de coordonnées, les tangentes à (C) en ces points. 2.Soientgethles fonctions de la variable réellexdéfinies respectivement par g(x)=Log (Logx) ¯ ¯ h(x)=Log (Log (|x|) ) Préciser leurs domaines de définition et, en utilisant la question précédente, indiquer leurs représentations graphiques dans le plan P. Partie B On considère la fonctionϕ, de la variable réellex, définie par 1 ϕ(x)= xLog (|x|)

Le baccalauréat de 1977

A. P. M. E. P.

1.Préciser son domaine de définition ; étudier cette fonction et construire sa re présentation graphique (Γ) dans un plan (P’) rapporté à un repère orthonormé ¡ ¢ k (unité : 2 cm). Calculer,kétant un réel non nul,ϕe . 2.Soitαun réel strictement supérieur à un. On désigne parD(α) la partie du ′ plan (P ) ensemble des pointsM(x;y) tels que : •xest compris entreαet e •0 6 y 6 ϕ(x). Calculer l’aireA(α) deD(α). Étudier les limites deA(α) lorsqueαtend vers un, et lorsqueαtend vers+∞. 3.On pose, pour tout élémentxdu domaine de définition deϕ:

ψ 1 (x)=ϕ(x)−x a.Montrer que l’équation :

(1)ψ 1 (x)=0 admet dansR + une racine unique, que l’on noteraα. Montrer queα>1. b.Exprimer, au moyen deα, les racines de l’équation (1) dansR. c.En déduire l’ensembleEdes points d’intersection de (Γ) et de la pre mière bissectrice des axes de coordonnées. d.En s’aidant du dessin, trouver un encadrement deαpar deux réelsα 1 et α 2 distants de 0,1. On pourra commencer par localiser approximativementαsur un inter −2 valle I, puis on compareraxet Logxpour des valeurs dexappartenant à I et formant une progression arithmétique de raison 0,1. 4.En étudiant le signe de la fonctionψ 2 définie par

ψ 2 (x)=ϕ(x)+x montrer que (Γ) et la seconde bissectrice des axes de coordonnées n’ont aucun point commun. Partie C On considère la fonctiont, définie sur une partie deC, telle que : 1 1 t(z)= zLog|z|

1. a.Déterminer le domaineD t de définition det. b.L’ensembleCdes nombres complexesx+iyest représenté à l’aide des ³ ´ −→−→ pointsM(x;y) d’un plan P 1 O,muni d’un repère orthonorméu,v. Déterminer lorsquezdécritD t l’ensembleE 1 des pointsMd’affixez= x+iy. On associe àtl’applicationTdeE 1 dans P 1 qui, au pointMd’affixez, ′ ′ fait correspondre le pointM=T(M) d’affixez=t(z). ′ 2.Exprimer le module et l’argument dez=t(z) au moyen de ceux dez. 3.En utilisant le résultat de B 3. déterminer les points de P 1 invariants parT. 4.Déterminer l’ensemble des pointsMdu domaine de définition deT, qui sont ′ tels que l’origine O, le pointMet son imageM=T(M) soient alignés, 5.Quel est le transformé parTd’un cercle de centre O et de rayonRstrictement positif et différent de l’unité.

Paris

2

septembre 1976

Le baccalauréat de 1977

Données numériques approchées :

Paris

x20,5 1 x e 1,6492,718 7,389 −x e 0,6070,368 0,135

3

A. P. M. E. P.

septembre 1976