Baccalauréat C Poitiers juin 1976

Description

Niveau: Secondaire, Lycée
Durée : 4 heures [ Baccalauréat C Poitiers juin 1976 \ EXERCICE 1 L'ensemble référentiel est l'ensemble N? des entiers naturels non nuls ; x est un élé- ment deN?, différent de 1 ; p et q sont des éléments deN?. 1. Montrer que si d est un diviseur de p, alors xd ?1 est un diviseur de xp ?1. 2. Montrer que si d est le P.G.C.D. de p et de q , alors il existe m et n tels que mp?nq = d . Endéduire que sid est le P.G.C.D. de p et de q , onpeut trouverm etn vérifiant : ( xmp ?1)? (xnq ?1)xd = ( xd ?1 ) . 3. De l'égalité précédente, déduire que (xd ?1) est le P.G.C.D. de xmp ? 1 et de xnq ?1. EXERCICE 2 Le plan affine euclidien P est rapporté à un repère orthonormé ( O, ??ı , ??? ) . Au point M de coordonnées (x ; y) on fait correspondre le complexe z = x + iy , appelé affixe de M , et z = x? iy est l'imaginaire conjugué de z. 1. Soit f l'application de P vers P qui au point M d'affixe z fait correspondre le point M' dont l'affixe z' est : z ? = ( 1? i p 3 ) z+3+3i p 3.

• former des relations de récurrence concernant les couples


• points d'ordonnée nulle


• xd ?1


• point ? d'affixe


• complexes z

Informations

• Publié par: apmep
• Publié le: 01 juin 1976
• Nombre de lectures: 19
• Langue: Français

Extrait

Durée : 4 heures

[Baccalauréat C Poitiers juin 1976\

E X E R C IC E 1 ⋆ L’ensemble référentiel est l’ensembleNdes entiers naturels non nuls ;xest un élé ⋆ ⋆ ment deN, différent de 1 ;petqsont des éléments deN.

d p 1.Montrer que sidest un diviseur dep, alorsx−1 est un diviseur dex−1. 2.Montrer que sidest le P.G.C.D. depet deq, alors il existemetntels que

m p−n q=d. En déduire que sidest le P.G.C.D. depet deq, on peut trouvermetnvérifiant : ³ ´ ¡ ¢¡ ¢ mp nqd d x−1−x−1x=x−1 . ¡ ¢ d mp 3.De l’égalité précédente, déduire quex−le P.G.C.D. de1 estx−1 et de nq x−1.

E X E R C IC E 2 ³ ´ −→−→ Le plan affine euclidien P est rapporté à un repère orthonorméO,ı,. Au point M de coordonnées (x;y) on fait correspondre le complexez=x+iy, appelé affixe deM, etz=x−iyest l’imaginaire conjugué dez.

1.Soitfl’application de P vers P qui au point M d’affixe z fait correspondre le point M’ dont l’affixe z’ est : ³ ´ ′ z=1−i 3z+3+3i 3.

Quelle est l’imagef(ω) du pointωd’affixe 1+?i 3 Montrer quefest une similitude inverse dont on précisera les éléments re marquables. 2.Soitgla symétrie affine orthogonale par rapport à la droite affine d’équation y=x3. Calculer en fonction dexety, coordonnées d’un pointM, les coor ¡ ¢ ′ ′′ donnéesx;ydeM=g(M). 3.Déterminerg◦fet donner ses éléments remarquables.

P R O B L È M E

Partie A Pour tout couple de réels (a 1 ;bl), on considère la fonctionϕ 1 définie sur l’ensemble R + des réels positifs de la façon suivante : ½ ϕ 1 (0)=0 ¡ ¢ ϕ 1 (x)=x a 1 +b 1 Logx,∀x>0.

1.On suppose dans cette questiona 1 = −b 1 =1.

Baccalauréat C

A. P. M. E. P.

a.Montrer que la fonctionϕ 1 çorrespondante est continue surR + . ′ Estelle dérivable surR + ? Déterminer la fonction dérivéeϕet la limite 1 de cette fonction quandxtend vers 0 par valeurs positives. b.Étudier les variations deϕ 1 . Construire sa courbe représentative (C 1 ) dans un plan rapporté à un repère orthonormé; on précisera la nature de la branche infinie, la tangente à l’origine du repère et les points d’or donnée nulle. c.Montrer que la fonctionϕ 2 : Z x x→7−ϕ 2 (x)=ϕ 1 (t) dt 0 est définie et continue surR + . 2 x Calculerϕ 2 (x). (On trouvera, pourxnon nul,ϕ 2 (x)=(3−2Logx)). 4 Construire la courbe représentative (C 2 ) deϕ 2 dans le même plan que ( C 1 ) en précisant la nature de la branche infinie, la tangente à l’origine du repère, les points d’ordonnée nulle. 2.On suppose maintenanta 1 etb 1 réels quelconques. a.Étudier brièvement la continuité et la dérivabilité de la fonctionϕ 1 asso ciée. ½ ϕ 1 (0)=0 ¡ ¢ ϕ 1 (x)=x a 1 +b 1 Logx,∀x>0. b.Montrer que l’on peut définir sur l’ensemble des entiers naturels non ¡ ¢ nuls une suite de fonctionsϕ n ⋆ par : n∈N ¡ ¢ ϕ 1 (0)=0,∀x>0,ϕ 1 (x)=x a 1 +b 1 Logx Z x ∀n>1,∀x > 0,ϕ n (x)=ϕ n−1 (t) dt. 0 Vérifier qu’iltelles que : existe deux suitesa= ( a n ) N etb= ( b n ) n∈N ⋆ ⋆ n∈ ¡ ¢ n ∀x>0,ϕ n (x)=x a n +b n Logx. Former des relations de récurrence concernant les couples (a n ;b n ) et ( a n+1 ;b n+1 ). Étudier la suiteb. On pose, pour tout entier naturelnnon nul,t n =n!a n . Former une relation de récurrence satisfaite part n ett n+1 . Montrer qu’il existe deux réels positifsAetBtels que :

∀n > 1, | t n | = A+BLogn (On pourra montrer que, pour tout entier naturelnstrictement supé 1 11 rieur à 1, on a+ +∙ ∙ ∙ + 6 Logn). 2 3n Étudier alors la convergence de la suitea. Partie B À tout couple (a;b) de réels, à tout entier naturel non nulp, on associe l’application ϕdeR + dansRdéfinie par : ½ ϕ(0)=0 ¡ ¢ p ϕ(x)=x a+bLogx,∀x>0. Pour tout entier naturel non nulp, on noteE p l’ensemble décrit parϕlorsP que 2 (a;b) décritR?

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Baccalauréat C

A. P. M. E. P.

1.Montrer que, sipest différent de 1,E p est un sousespace vectoriel de l’espace vectoriel surRdes fonctions dérivables surR + . Examiner le cas dep=1. On supposera dans la suite du problèmep6=1. 2.Montrer que les éléments deE p , notésuetv, obtenus respectivement en don nant à (a;b) les valeurs (1 ; 0) et (0 ; 1) forment une base deE p . 3.Soitfl’application qui, à tout élémentϕdeE p associe la fonction numérique ′ f(ϕ), notéeg, définie surR + par :g(x)=x.ϕ(x). Démontrer quefest un endomorphisme deE p . Déterminer la matrice def dans la base (u;v). L’applicationfestelle un automorphisme deE p ? 4.kétant un réel donné, on appelleF k l’ensemble des élémentsϕdeE p tels que f(ϕ)=k.ϕ. DéterminerF k et discuter suivant les valeurs dek. 5.Démontrer qu’il existe deux constantes réellesλetµtelles que, pour tout élé mentϕdeE p ,

soit l’application nulle.

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(f◦f)(ϕ)+λf(ϕ)+µ.ϕ

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