Baccalauréat C Polynésie française juin
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Description

Niveau: Secondaire, Lycée
[ Baccalauréat C Polynésie française juin 1980 \ EXERCICE 1 Soit la fonction f numérique réelle de variable réelle définie par x 6= 0, f (x)= x?1 x ex et f (0)= 0. 1. Donner le domaine de définition D de f et étudier les limites de f aux bornes des intervalles définissant D. Étudier la continuité de f pour x = 0. 2. Étudier le sens de variation de f . Représenter graphiquement f dans un plan de repère orthonormé ( O, ??ı , ??? ) . 3. Calculer en fonction de e une mesure de l'aire de la surface délimitée par la représentation graphique (C ) de f et par les droites d'équations y = 0, x = 12 , x = 2. On pourra chercher une primitive de x 7?? e 1x par une intégration par parties. EXERCICE 2 1. a. Chercher le polynôme P (x) à coefficients dansN de degré 2 tel que pour tout élément x deN l'égalité suivante soit vraie x(x+1)(x+2)(x+3)+1 = P (x). b. En déduire pour x > 3 l'écriture en base x du nombre entier naturel dont le carré est A = 10?11?12?13+1. Tout nombre surmonté d'une barre est écrit dans la base x.

  • réelle de variable réelle

  • droites vectorielles

  • plan au repère orthonormé

  • repère

  • vecteurs unitaires

  • coordonnées d'unpointm dans le repère

  • onprendra dans la suite??ı1 de coordonnées

  • ?? k1


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Publié le 01 juin 1980
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Langue Français

Exrait

[Baccalauréat C Polynésie française juin 1980\
EX E R C IC E1 Soit la fonctionfnumérique réelle de variable réelle définie par x1 x x6=0,f(x)=e etf(0)=0. x 1.Donner le domaine de définition D defet étudier les limites defaux bornes des intervalles définissant D. Étudier la continuité defpourx=0. 2.Étudier le sens de variation def. ³ ´ Représenter graphiquementfdans un plan de repère orthonorméO,ı,. 3.Calculer en fonction de e une mesure de l’aire de la surface délimitée par la représentation graphique (C) defet par les droites d’équations 1 y=0,x=,x=2. 2 1 On pourra chercher une primitive dex7e parune intégration par parties. x
EX E R C IC E2 1. a.Chercher le polynômeP(x) à coefficients dansNde degré 2 tel que pour tout élémentxdeNl’égalité suivante soit vraie
x(x+1)(x+2)(x+3)+1=P(x). b.En déduire pourx>3 l’écriture en basexdu nombre entier naturel dont le carré est
A=10×11×12×13+1. Tout nombre surmonté d’une barre est écrit dans la basex. 2.Écrire en basex(oùx>3) le carré de 11, le cube de 11. 3.Quels sont les diviseurs du nombreB=1320 dans n’importe quelle basexxest supérieur strictement à 3 ? 4.Vérifier que pourx=3 le nombre 111 est divisible par 13. En déduire quelles sont toutes les basesxdeNpour lesquelles le nombre 111 est divisible{0, 1} par 13.
PR O B L È M E ³ ´ Soit E un espace affine de dimension 3, de repèreO,ı,,koù O désigne un ³ ´ point de E etı,,kune base de l’espace vectoriel surRassocié à E, noté (E,+, .). On définit l’application affinefde E vers E qui à tout pointMde coordonnées ³ ´ ¡ ¢ ′ ′′ ′ (x;y;z) par rapport àO,ı,,kassocie le pointMde coordonnéesx;y;z ³ ´ par rapport àO,ı,,kde telle sorte que x=x+6y+3z+12 y= −3x8y3z15 z=6x+12y+4z+18. On noteϕl’endomorphisme associé àf.
Le baccalauréat de 1980
A. P. M. E. P.
Partie A 1.Montrer qu’il existe une droite vectorielleDdeEdont on déterminera une ³ ´³ ´ −→ −→−→ basei1et un plan vectorielGdeEdont on déterminera une basej1,k1, DetGdéfinis par n ³³ ´´o D=vE/k1RvD,ϕv=k1v n ³³ ´´o G=vE/k2RvG,ϕv=k2v
k1etk2sont à déterminer et on vérifiera queDetGsont deux sousespaces −→ supplémentaires dansE. On prendra dans la suiteı1de coordonnées (1 ;1 ; 2), 1de coordonnées (2 ; 1 ;0) etk1de coordonnées (1 ;0 ;1). 2.Préciser la nature de la restriction deϕàDet la nature de la restriction deϕà G. ³ ´ Exprimer analytiquementϕdans la baseı1,1,k1deEet préciser siϕest un isomorphisme deE. Conclure alors sifest bijectif ou non. 3.Montrer qu’il existe un point A de coordonnées (x;y; 0) invariant parf. De tout ce qui précède déduire : a.l’ensemble (I) des points invariants parf; b.les variétés de E pour lesquelles la restriction defà ces variétés est une homothétie de rapport2 ; c.une construction géométrique de l’image de tout pointMparf, dans le plan contenant I etM.
Partie B ³ ´ On suppose dans toute cette partie que E est affine euclidien et que la baseı,,k est orthonormée directe. 1.La droite vectorielleDestelle orthogonale au plan vectorielG? −→ Montrer qu’il existe une droite vectorielleΔdeGorthogonale àDque l’on −→ déterminera par un vecteur directeursde norme égale à 1. −→ On appelleΔla droite contenant le point A et de vecteur directeurs. −→ On appellerun vecteur unitaire de la droite (I). 2.Montrer que le plan P contenant (I) et (Δ) est stable parf. On appellegla restriction de l’applicationfau plan P, et on repère ce plan P par rapport au ³ ´ repère orthonorméA,r,s. ³ ´ ′ ′ Préciser la matrice deϕdans la baser,s,ϕdésignant l’endomorphisme associé àg. ³ ´ On note (α;β) les coordonnées d’un pointMdans le repèreA,r,s. D’autre ³ ´ part, si l’on notezl’affixe d’un pointMdu plan complexeA,r,sassocié à P, quelle est alors l’affixezdeg(M) en fonction dezet dez(zdésignant le conjugué dez). 3. a.Déterminer dans le plan P l’ensemble (K) des pointsMde P tels que les −−→−→ ′ ′ vecteurs AMet AMsoient orthogonaux (Mdésignantg(M) ? Préciser alors l’ensemble (K )=g(K).
Polynésie française
2
juin 1980
Le baccalauréat de 1980
A. P. M. E. P.
¡ ¢ b.Étudier l’imageHpargd’une hyperboleHdu plan (Γ) ayant pour asymptotes les deux droites d’équations
α=β2 etα= −β2. ³ ´ dans le repèreA,r,s.
Polynésie française
3
juin 1980