Baccalauréat C Polynésie française juin

Description

Niveau: Secondaire, Lycée
[ Baccalauréat C Polynésie française juin 1980 \ EXERCICE 1 Soit la fonction f numérique réelle de variable réelle définie par x 6= 0, f (x)= x?1 x ex et f (0)= 0. 1. Donner le domaine de définition D de f et étudier les limites de f aux bornes des intervalles définissant D. Étudier la continuité de f pour x = 0. 2. Étudier le sens de variation de f . Représenter graphiquement f dans un plan de repère orthonormé ( O, ??ı , ??? ) . 3. Calculer en fonction de e une mesure de l'aire de la surface délimitée par la représentation graphique (C ) de f et par les droites d'équations y = 0, x = 12 , x = 2. On pourra chercher une primitive de x 7?? e 1x par une intégration par parties. EXERCICE 2 1. a. Chercher le polynôme P (x) à coefficients dansN de degré 2 tel que pour tout élément x deN l'égalité suivante soit vraie x(x+1)(x+2)(x+3)+1 = P (x). b. En déduire pour x > 3 l'écriture en base x du nombre entier naturel dont le carré est A = 10?11?12?13+1. Tout nombre surmonté d'une barre est écrit dans la base x.

• réelle de variable réelle


• droites vectorielles


• plan au repère orthonormé


• repère


• vecteurs unitaires


• coordonnées d'unpointm dans le repère


• onprendra dans la suite??ı1 de coordonnées


• ?? k1

Sujets

• Repère

Informations

• Publié par: apmep
• Publié le: 01 juin 1980
• Nombre de lectures: 30
• Langue: Français

Extrait

[Baccalauréat C Polynésie française juin 1980\

E X E R C IC E 1 Soit la fonctionfnumérique réelle de variable réelle définie par x−1 x x6=0,f(x)=e etf(0)=0. x 1.Donner le domaine de définition D defet étudier les limites defaux bornes des intervalles définissant D. Étudier la continuité defpourx=0. 2.Étudier le sens de variation def. ³ ´ −→−→ Représenter graphiquementfdans un plan de repère orthonorméO,ı,. 3.Calculer en fonction de e une mesure de l’aire de la surface délimitée par la représentation graphique (C) defet par les droites d’équations 1 y=0,x=,x=2. 2 1 On pourra chercher une primitive dex7−→e parune intégration par parties. x

E X E R C IC E 2 1. a.Chercher le polynômeP(x) à coefficients dansNde degré 2 tel que pour tout élémentxdeNl’égalité suivante soit vraie

x(x+1)(x+2)(x+3)+1=P(x). b.En déduire pourx>3 l’écriture en basexdu nombre entier naturel dont le carré est

A=10×11×12×13+1. Tout nombre surmonté d’une barre est écrit dans la basex. 2.Écrire en basex(oùx>3) le carré de 11, le cube de 11. 3.Quels sont les diviseurs du nombreB=1320 dans n’importe quelle basexoù xest supérieur strictement à 3 ? 4.Vérifier que pourx=3 le nombre 111 est divisible par 13. En déduire quelles sont toutes les basesxdeN−pour lesquelles le nombre 111 est divisible{0, 1} par 13.

P R O B L È M E ³ ´ −→−→ −→ Soit E un espace affine de dimension 3, de repèreO,ı,,koù O désigne un ³ ´ −→−→ −→ point de E etı,,kune base de l’espace vectoriel surRassocié à E, noté (E,+, .). On définit l’application affinefde E vers E qui à tout pointMde coordonnées ³ ´ −→−→ −→ ¡ ¢ ′ ′′ ′ (x;y;z) par rapport àO,ı,,kassocie le pointMde coordonnéesx;y;z ³ ´ −→−→ −→ par rapport àO,ı,,kde telle sorte que  ′ x=x+6y+3z+12  ′ y= −3x−8y−3z−15  ′ z=6x+12y+4z+18. On noteϕl’endomorphisme associé àf.

Le baccalauréat de 1980

A. P. M. E. P.

Partie A 1.Montrer qu’il existe une droite vectorielleDdeEdont on déterminera une ³ ´³ ´ −→ −→ −→ basei 1 et un plan vectorielGdeEdont on déterminera une basej 1 ,k 1 , DetGdéfinis par n ³³ ´´o −→−→−→−→ ⋆ D=v∈E/∃k 1 ∈R∃v∈D,ϕv=k 1 v n ³³ ´´o −→−→−→−→ ⋆ G=v∈E/∃k 2 ∈R∃v∈G,ϕv=k 2 v

oùk 1 etk 2 sont à déterminer et on vérifiera queDetGsont deux sousespaces −→ supplémentaires dansE. On prendra dans la suiteı 1 de coordonnées (1 ;−1 ; 2), −→ −→  1 de coordonnées (−2 ; 1 ;0) etk 1 de coordonnées (1 ;0 ;−1). 2.Préciser la nature de la restriction deϕàDet la nature de la restriction deϕà G. ³ ´ −→−→ −→ Exprimer analytiquementϕdans la baseı 1 , 1 ,k 1 deEet préciser siϕest un isomorphisme deE. Conclure alors sifest bijectif ou non. 3.Montrer qu’il existe un point A de coordonnées (x;y; 0) invariant parf. De tout ce qui précède déduire : a.l’ensemble (I) des points invariants parf; b.les variétés de E pour lesquelles la restriction defà ces variétés est une homothétie de rapport−2 ; c.une construction géométrique de l’image de tout pointMparf, dans le plan contenant I etM.

Partie B ³ ´ −→−→ −→ On suppose dans toute cette partie que E est affine euclidien et que la baseı,,k est orthonormée directe. 1.La droite vectorielleDestelle orthogonale au plan vectorielG? −→ Montrer qu’il existe une droite vectorielleΔdeGorthogonale àDque l’on −→ déterminera par un vecteur directeursde norme égale à 1. −→ On appelleΔla droite contenant le point A et de vecteur directeurs. −→ On appellerun vecteur unitaire de la droite (I). 2.Montrer que le plan P contenant (I) et (Δ) est stable parf. On appellegla restriction de l’applicationfau plan P, et on repère ce plan P par rapport au ³ ´ −→−→ repère orthonorméA,r,s. ³ ´ −→−→ ′ ′ Préciser la matrice deϕdans la baser,s,ϕdésignant l’endomorphisme associé àg. ³ ´ −→−→ On note (α;β) les coordonnées d’un pointMdans le repèreA,r,s. D’autre ³ ´ −→−→ part, si l’on notezl’affixe d’un pointMdu plan complexeA,r,sassocié ′ à P, quelle est alors l’affixezdeg(M) en fonction dezet dez(zdésignant le conjugué dez). 3. a.Déterminer dans le plan P l’ensemble (K) des pointsMde P tels que les −−→ −−→ ′ ′ vecteurs AMet AMsoient orthogonaux (Mdésignantg(M) ? ′ Préciser alors l’ensemble (K )=g(K).

Polynésie française

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Le baccalauréat de 1980

A. P. M. E. P.

¡ ¢ ′ b.Étudier l’imageHpargd’une hyperboleHdu plan (Γ) ayant pour asymptotes les deux droites d’équations

α=β2 etα= −β2. ³ ´ −→−→ dans le repèreA,r,s.

Polynésie française

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