Baccalauréat C Polynésie juin

Description

Niveau: Secondaire, Lycée
[ Baccalauréat C Polynésie juin 1987 \ EXERCICE 1 5 POINTS Le plan orienté est rapporté au repère orthonormal ( O, ??u , ??v ) . Dans tout l'exercice, t désigne un nombre réel tel que 0< t < pi2 . 1. Résoudre dans C l'équation suivante d'inconnue z : z2?2(1+cos2t)z+2(1+cos2t)= 0. Dans la suite de l'exercice, les solutions seront appelées z1 et z2, z1 désignant celle dont la partie imaginaire est strictement positive. On note A le point d'affixe 1. 2. Étudier et représenter l'ensemble E1 décrit par le point M1 d'affixe z1 lorsque t décrit l'intervalle [pi 6 ; pi 6 ] . En déduire l'ensemble E2 décrit par le point M2 d'affixe z2 quand t décrit le même intervalle et représenter E2. 3. a. Mettre z1 sous forme trigonométrique. b. Soit M et M1 les points d'affixes z = 1+eit et z1. Montrer que la droite (OM1) est parallèle à la droite (AM). c. Comparer l'aire A(t) du triangle AM1M à celle du triangle AOM . Étudier le maximum de l'aire A(t) lorsque t parcourt l'intervalle ] 0 ; pi2 [ . EXERCICE 2 5 POINTS Dans le plan orienté, on considère un triangle ABC direct, c'est-à-dire tel que l'angle orienté (???AB , ???AC ) admet une mesure comprise entre 0

• r2 ?


• équilatéral direct


• point m2 d'affixe


• s2 ?


• point m1 d'affixe z1


• angle orienté


• triangles équilatérauxa?bc


• axes des réflexions s2


• rotations d'angle demesure

Informations

• Publié par: apmep
• Publié le: 01 juin 1987
• Nombre de lectures: 50
• Langue: Français

Extrait

[Baccalauréat C Polynésie juin 1987\

E X E R C IC E 1 5 P O IN TS ³ ´ −→−→ Le plan orienté est rapporté au repère orthonormalO,u,v. Dans tout l’exercice, tdésigne un nombre réel tel que π 0<t<. 2 1.Résoudre dansCl’équation suivante d’inconnuez:

2 z−2(1+cos 2t)z+2(1+cos 2t)=0.

Dans la suite de l’exercice, les solutions seront appeléesz 1 etz 2 ,z 1 désignant celle dont la partie imaginaire est strictement positive. On note A le point d’affixe 1. 2.Étudier et représenter l’ensembleE 1 décrit par le pointM 1 d’affixez 1 lorsque h i π π t; .décrit l’intervalle 6 6 En déduire l’ensembleE 2 décrit par le pointM 2 d’affixez 2 quandtdécrit le même intervalle et représenterE 2 . 3. a.Mettrez 1 sous forme trigonométrique. it b.SoitMetM 1 les points d’affixesz=1+e etz 1 . Montrer que la droite (OM 1 ) est parallèle à la droite (AM). c.Comparer l’aireA(t) du triangle AM 1 Mà celle du triangle AOM. i h π Étudier le maximum de l’aireA(t) lorsquetparcourt l’intervalle0 ;. 2

E X E R C IC E 2 5 P O IN TS Dans le plan orienté, on considère un triangle ABC direct, c’estàdire tel que l’angle ³ ´ −→−→ orienté AB, ACadmet une mesure comprise entre 0 etπ. ′ ′′ On construit les triangles équilatéraux ABC, BAC et CBA tels que les angles orientés ³ ´³ ´³ ´ −−→ −−→−−→−−→−−→−−→ π ′ ′′ ′′ A’C ,A B, BA ,B Cet CB , C Aadmettent pour mesure. Soient F, G et H les 3 centres respectifs de ces triangles équilatéraux; on se propose de prouver que le triangle FGH est équilatéral direct.

1.Placer sur une figure les points et les triangles précédents. 2π 2.On noter 1 ,r 2 etr 3 les rotations d’angle de mesureet de centres respectifs 3 F, G et H. a.Déterminer le déplacementr 1 ◦r 2 ◦r 3 (on pourra préciser l’image de B). b.En déduire le centre et l’angle de la rotationr=r 2 ◦r 3 . c.En déduire aussi que les points F, G et H sont distincts deux à deux. 3.On notesla réflexion par rapport à la droite (GH). Déterminer les axes des réflexionss 2 ets 3 telles quer 2 =s 2 ◦setr 3 =s◦s 3 ; ′ ′ montrer que ces axes se coupent en un point Ftel que F GH soit équilatéral direct. ′ 4.= F.Montrer enfin que F

Le baccalauréat de 1987

A. P. M. E. P.

P R O B L È M E 10 P O IN TS Dans ce problème, on se propose d’étudier les fonctions définies sur ]0 ;+∞[ par µ ¶ Z 2 2 x lnt f(t)=etF(x)=f(t) dt. t x A. Étude de la fonctionf

1. a.Étudier le signe de 1−lntoùt∈]0 ;+∞[. b.En déduire le sens de variation defsur ]0 ;+∞[. 2.Déterminer les limites defen 0 et en+∞. 3.Dresser le tableau de variation defet construire sa courbe représentative ³ ´ −→ −→−→ Cdans un repère orthogonalO,ı,(unités graphiques :kık =1 cm et −→ kk =20 cm).

B.  Étude de la fonctionF

1.Étude au voisinage de+∞: a.Soitxun élément de [1 ;+∞[. Prouver que pour tout élémenttde [x; 2x],

En déduire que

2 2 lnxln 2x 6 f(t) 6 . 2 2 t t

2 2 lnxln 2x 6 F(x) 6 . 2x2x b.Déterminer la limite deF(x) lorsquextend vers+∞. 2.Étude au voisinage de 0. ¸ ¸ 1 a.Soitx. Établir que0 ;un élément de 2 2 2 ln 2xlnx 6 F(x) 6 . 2x2x b.Déterminer la limite deF(x) lorsquextend vers 0. 3.Calcul deF. a.Calculer Z u lnt dt, 2 1 t puis Z u 2 lnt dt, 2 1 t (On pourra intégrer par parties.) b.En déduire que la fonctionGdéfinie sur ]0 ;+∞[ par

Polynésie

2 lnulnu2 (1)G(u)= −−2−. u uu est une primitive defsur ]0 ;+∞[.

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juin 1987

Le baccalauréat de 1987

c.Prouver finalement que

A. P. M. E. P.

(2)F(x)=G(2x)−G(x). 4.Variations deF. a.À l’aide de (2), calculer la dérivée deF. ′2 2 b.Montrer queF(x)=20 si et seulement si (lnx)=2(lnx) . c.Prouver que cette équation admet deux solutionsx 1 etx 2 telles que −6 x 1 <1<x 2 . Donner une valeur approchée dex 1 etx 2 à la précision 10. ′ d.Étudier le signe deF. 5.Courbe représentative deF. a.Dresser le tableau de variations deF. Utiliser (2) pour préciser les valeurs deFaux points 1,x 1 etx 2 . b.Construire la courbe représentativeΓdeF. (On prendra les mêmes uni tés graphiques que dans la partie A.)

Polynésie

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juin 1987