Baccalauréat C Pondichéry mai

Description

Niveau: Secondaire, Lycée
[ Baccalauréat C Pondichéry mai 1981 \ EXERCICE 1 k étant un entier naturel quelconque, soit x et y les deux entiers tels que x = 7k2+3k+1 y = 8k+3. 1. Vérifier que (x ; y) est solution de l'équation 64x? (56k+3)y = 55. 2. Quelles sont les valeurs possibles du P.G.C.D., d , de x et y ? 3. Montrer que d est égal à 55 si, et seulement si, 55 divise y . En déduire les valeurs de k pour lesquelles d = 55. EXERCICE 2 La suite numérique (n 7?? un ) est définie sur N par la donnée de u0 = 0 et par la relation de récurrence ?n ?N, un+1 = 2un +3un +4 . 1. Calculer u1 et u2. Montrer que ?n ?N?, 0

• branche infinie


• matrice dans la base


• noyau ker


• symétries vectorielles


• relation de récurrence


• nature géométrique de ?


• base orthonormée

Sujets

• Relation de récurrence
• Base orthonormale

Informations

• Publié par: apmep
• Publié le: 01 mai 1981
• Nombre de lectures: 25
• Langue: Français

Extrait

[Baccalauréat C Pondichéry mai 1981\

E X E R C IC E 1 kétant un entier naturel quelconque, soitxetyles deux entiers tels que 2 x=7k+3k+1 y=8k+3.

1.Vérifier que (x;y) est solution de l’équation

64x−(56k+3)y=55.

2.Quelles sont les valeurs possibles du P.G.C.D.,d, dexety? 3.Montrer quedest égal à 55 si, et seulement si, 55 divisey. En déduire les valeurs dekpour lesquellesd=55.

E X E R C IC E 2 La suite numérique (n→−7u n ) est définie surNpar la donnée deu 0 =0 et par la relation de récurrence 2u n +3 ∀n∈N,u n+1 =. u n +4 1.Calculeru 1 etu 2 . ⋆ Montrer que∀n∈N, 0<u n <1 et que la suite est croissante. 2.On considère la suite (n7−→V n ) définie par son terme général u n −1 ∀n∈N,V n = u n +3 Montrer que la suite (n7−→V n ) est une suite géométrique convergente. Calculeru n en fonction den. En déduire queu n converge et calculer sa limite.

P R O B L È M E

Partie A ³ ´ −→−→ E est un espace vectoriel euclidien orienté, de base orthonormée directeı,a est un nombre réel arbitraire etg a désigne l’endomorphisme de E dont la matrice ³ ´ −→−→ dans la baseıest µ ¶ a2a a+1−a 1. a.Préciser les valeurs deapour lesquellesg a n’est pas bijective. b.Quel est alors l’endomorphisme composég a ◦g a ? ¡ ¢¡ ¢ En déduire que l’espace image Img a est inclus dans le noyau Kerg a . Montrer que ces sousespaces sont confondus. Préciser ce sousespace pour chacune des valeurs deatrouvées au 1. a.

Le baccalauréat de 1981

A. P. M. E. P.

c.Montrer queg 0 est la composéeg 0 =r◦pd’une projection vectorielle orthogonale que l’on précisera et de la rotation vectoriellerdont l’angle π apour mesure+. 2 2. a.Montrer queg 1 est la composée d’une homothétie vectorielleh, de rap port positif, et d’une symétrie vectorielle orthogonalesque l’on préci sera. b.Montrer queg 1 est le seul automorphisme de E de la formeg a qui trans forme toute base orthonormée en une base orthogonale. Existetil une isométrie vectorielle de la formeg a ? −1 3. a.Montrer quegest involutive. Estce une symétrie vectorielle orthogo nale ? b.Pour quelles valeurs dea,g a ? Préciser les directionsestelle involutive caractéristiques de chacune de ces involutions. Partie B La fonction numériquefest définie par ¡ ¢ −x f(x)=Log e−e où Log désigne le logarithme népérien.

1.Préciser l’ensemble de définitionDdefet les limites aux bornes. 2.Étudier les variations def. 3.Soit (C) la courbe représentative defdans un plan affine P rapporté à un re ³ ´ −→−→ père orthonorméO,ı,, l’unité de longueur étant 2 cm. Étudier les branches infinies de (C). Montrer que la droite d’équationy= −x est asymptote à la courbe (C). Calculer l’abscisse du point A d’intersection de (C) avec l’axe des abscisses et donner une équation de la tangente (T) à (C) en A. Tracer la courbe (C). Partie C On appelleϕl’application affine de P laissant l’origine O invariante et admettant −1 gcomme application linéaire associée. ¡ ¢ ′ ′′ 1.Calculer les coordonnéesx,ydu pointNimage parϕdu pointN(x;y). Quelle est la nature géométrique deϕ? 2.On appelle (T) l’image de (C) parϕ. Montrer queM(x;y) appartient à (T) si, et seulement si,

y x+2y (1) e=e−e. ´ 3.Trouver la fonction numériqueh 1 telle qu’une équation de (T) soit

(2)y=h 1 (x) ´ 4.Trouver la fonction numériqueh 2 telle qu’une équation de (T) soit

(3)y=h 2 (x) Quel est l’ensemble de définition deh 2 ? Étudier les limites

Pondichéry

2

mai 1981

Le baccalauréat de 1981

£ ¤ ℓ 1 =limh 2 (y)+y y→+∞

£ ¤ ℓ 2 =limh 2 (y)+2y y→−∞

A. P. M. E. P.

En déduire que (T) admet deux asymptotes obliques dont on donnera des équations. 5.Construire la courbe (T) en utilisant les résultats obtenus en C 1. et C 4.

Pondichéry

3

mai 1981