Baccalauréat C Rennes juin

Description

Niveau: Secondaire, Lycée
[ Baccalauréat C Rennes juin 1974 \ EXERCICE 1 Soit Z/10Z l'ensemble des classes d'entiers modulo 10. 1. Résoudre, dans Z/10Z l'équation 2˙x = 0˙. 2. Résoudre, dans Z/10Z?Z/10Z le système { 5˙x + 2˙y = 1˙ 3˙x + 2˙y = 5˙ EXERCICE 2 1. Soit ? la fonction définie sur R+ par : ?(u)= u? (1+u)Log (1+u) Montrer, en étudiant le sens de variation de ?, que, pour u > 0, ?(u)< 0. 2. Soit f la fonction définie sur R par : ? ? ? f (x) = Log (1+ x2) x2 pour x 6= 0 f (0) = 1 Montrer que f est une fonction continue sur R. 3. À l'aide de la fonction ? de la question 1. étudier le sens de variation de f . 4. Étudier la limite de f (x) quand x tend vers +∞. On ne demande pas de représentation graphique. PROBLÈME Les questions B - 1, et B - 2, sont indépendantes entre elles et indépendantes de la partie A. C désigne l'ensemble des nombres complexes,.

• plan p0 orienté


• rotations vectorielles


• applications ?


• affixe de ??v


• normée directe de p0


• vecteurs invariants


• vecteur ??v? d'affixe z ?


• onpose z


• nature de l'application

Informations

• Publié par: apmep
• Publié le: 01 juin 1974
• Nombre de lectures: 42
• Langue: Français

Extrait

[Baccalauréat C Rennes juin 1974\

E X E R C IC E 1 SoitZ/10Zl’ensemble des classes d’entiers modulo 10.

˙ ˙ 1.Résoudre, dansZ/10Zl’équation 2x=0. 2.Résoudre, dansZ/10Z×Z/10Zle système ½ ˙ ˙˙ 5x+2y=1 ˙ ˙˙ 3x+2y=5

E X E R C IC E 2 1.Soitϕla fonction définie surR + par :

ϕ(u)=u−(1+u)Log (1+u)

Montrer, en étudiant le sens de variation deϕ, que, pouru>0,ϕ(u)<0. 2.Soitfla fonction définie surRpar :  ¡¢ 2  Log 1+x f(x)=pourx6=0 2 x  f(0)=1

Montrer quefest une fonction continue surR. 3.À l’aide de la fonctionϕde la question 1. étudier le sens de variation def. 4.Étudier la limite def(x) quandxtend vers+∞. On ne demande pas de représentation graphique.

P R O B L È M E Les questions B  1, et B  2, sont indépendantes entre elles et indépendantes de la partie A. Cdésigne l’ensemble des nombres complexes,.

Partie A ³ ´ −→−→ On désigne par P 0 un plan vectoriel euclidien orienté et paru,vune base ortho −→−→−→ normée directe de P 0 V. À tout vecteur=x u+y von associe le nombre complexe −→ z=x+iy, appelé affixe de V . 2π2π On pose j=cos+i sin. 3 3 j désigne le nombre complexe conjugué de j,. α,β,γdésignent trois nombres réels.

2 1.Calculer j+j. Vérifier que j=j. ³ ´ Montrer quej, jest une base deC, considéré comme espace vectoriel surR. Quelles sont, dans cette base, les coordonnées deα+βj+γj ? 3 Quel est l’ensemble des élémentsα,β,γdeRtels queα+βj+γj=0 ?

Le baccalauréat de 1974

A. P. M. E. P.

³ ´ ′ 2.On posez=α+βj+γjz, et on désigne parϕl’application qui à tout vecteur −→ −→ ′ ′ V deP 0 d’affixezd’affixe, associe le vecteur Vz. a.Montrer queϕest involutive si et seulement siϕest l’application iden tique ou l’homothétie vectorielle de rapport−1. Montrer que ces deux cas correspondant respectivement aux hypothèses β=γ=α−1 etβ=γ=α+1. b.Soitrla rotation vectorielle dont l’angle a pour mesure en radiansθ. ³ ´ Quelles sont les coordonnées, dans la basej, jdeC, du nombre com plexe cosθ+i sinθ? Peuton choisirα,β,γpour que l’applicationϕcoincide avecr? Partie B E désigne un espace vectoriel euclidien orienté de dimension 3 rapporté à une base ³ ´ −→−→−→ orthonormée directeI,J,K. Soit Id l’application identique de E etfl’application linéaire de E dans E, telle que : −→−→−→−→−→−→ f(I)=K,f(J)= −I,f(K)= −J 2 On rappelle quef=f◦f. 2 1.Montrer quefetfsont des rotations vectorielles de même axeDengendré −→−→−→ parI−J+K. 2 b Montrer que l’angleθde chacune des rotations vectoriellesfetfvérifie

b b b b θ+θ+θ=0 b (0 désignant l’angle nul). P désignant le plan vectoriel orthogonal àD, en déduire qu’on peut orienter 2π le plan de façon qu’une mesure en radians de l’angle defsoit . 3 3 2.α,β,γétant un élément deR, on définit l’applicationΦ (α,β,γ) de E dans E par :

2 Φ=αId+βf+γf. (α,β,γ)

On rappelle que,fétant une application linéaire de E dans E, etλun nombre réel,λfdésigne l’application de E dans E définie par : ³ ´³ ´ −→ −→−→ ∀V∈E,∀λ∈R: (λf) V=λfV .

L(E) désignant l’ensemble des applications linéaires de E dans E, on admettra que l’addition dans E et la multiplication par un réel définie cidessus donnent àL(E) une structure d’espace vectoriel surR. 3 On désigne parFl’ensemble desΦ (α,β,γ) avec (α,β,γ) élément deR. Démontrer queFest un sousespace vectoriel deL(E). ³ ´ −→ Quelle est la dimension deF? (On pourra calculerΦ (α,β,γ) I. 2 3.Ddésigne toujours l’axe des rotations vectoriellesfetf, et P le plan vectoriel orthogonal àD. ³ ´ −→−→−→ a.Montrer que :∀V∈D,Φ (α,β,γ) V=(α+β+γ)V . ³ ´ −→−→ et∀V∈P,Φ (α,β,γ) V∈P.

Rennes

2

juin 1974

Le baccalauréat de 1974

A. P. M. E. P.

b.e l’angleLe plan P étant orienté de façon à ce qu’une mesure en radians d 2π defsoit ,on convient désormais de l’identifier au plan P 0 orienté de 3 la partie A. Montrer que la restriction deΦ (α,β,γ) à P est l’applicationϕdéfinie dans A  2. 3 4.Quel est l’ensemble des éléments (α,β,γ) deRtels queΦ (α,β,γ) soit : a’fJ’Y a.involutive ?Préciser dans chaque cas la nature de l’application et l’en semble des vecteurs invariants. b.une rotation vectorielle ? On pourra dans a. et b. considérer les restrictions deΦàDet à P. (α,β,γ)

Rennes

3

juin 1974